Transformaciones lineales de escala para bosones y fermiones

Question

En el libro de Coleman: Los aspectos de la simetría , p. 70; las transformaciones lineales de escala o dilataciones se definen como $$ x \rightarrow e^\alpha x $$ con $\alpha$ siendo un número real. Los campos cambian como $$ \phi(x) \rightarrow e^{\alpha d} \phi (e^{\alpha x}) $$ que da lugar a una transformación infinitesimal $$ \delta \mathbf{\phi} = (d + x^\lambda \partial_\lambda ) \mathbf \phi $$ donde $d$ es una matriz. (Es más claro como $\delta \phi_i = (d_{ij} + x^\lambda \partial_\lambda \delta_{ij} ) \phi_j$ , donde $\delta_{ij}$ es el delta de Kronecker).

Ahora, hay una afirmación que no he podido probar:

Para una gran clase de teorías (incluyendo todas las teorías de campo renormalizables) estas transformaciones son simetrías, si todas las constantes de acoplamiento no dimensionales (incluyendo las masas) se fijan igual a cero, y si $d$ se elige una matriz que multiplica todos los campos de Bose por uno y todos los campos de Fermi por $\frac{3}{2}$ .

Basándome en esta cita, he intentado utilizar el lagrangiano $\mathcal L = \partial_\mu \phi_i \partial^\mu \phi_i$ que es el lagrangiano de Klein Gordon con $m=0$ . Informática $\mathcal L[\phi + \delta \phi] - L[\phi]$ da la variación de la acción que debe ser 0 hasta una derivada total cuando $d_{ij} = 1 \cdot \delta_{ij}$ . Sin embargo encuentro términos con derivadas extra que no se cancelan. Me gustaría saber cómo encontrar los 1 y 3/2 para bosones y fermiones. Supongo que este es un resultado general y no hay necesidad de elegir un lagrangiano específico.

Answer 1

Para un campo escalar sin masa, $$I[\phi] :=\int g^{\mu\nu}\frac{\partial \phi(x)}{\partial x^\mu}\frac{\partial \phi(x)}{\partial x^\nu} dx^0dx^1 dx^2dx^3$$ donde $g = diag(-1,1,1,1)$ .

IIIIffff rrrreeeeppIIppllffllaa aaccrcciieeiinnppnngglgg aa cciinngg Si se sustituye Si se sustituye $\phi \to \phi_\lambda$ donde $$\phi_\lambda(x) := \lambda \phi(\lambda x) \quad \mbox{for $ \N -lambda >0 $}$$ (evidentemente $\lambda = e^\alpha$ ), tenemos $$I[\phi_\lambda]=\int g^{\mu\nu}\frac{\partial \phi(\lambda x)}{\partial x^\mu}\frac{\partial \phi(\lambda x)}{\partial x^\nu} \lambda^2 dx^0dx^1dx^2dx^3 \:.$$ Es decir $$I[\phi_\lambda]=\int g^{\mu\nu}\frac{\partial \phi(\lambda x)}{\partial \lambda x^\mu}\frac{\partial \phi(\lambda x)}{\partial \lambda x^\nu} \lambda^4 dx^0dx^1dx^2 dx^3 = \int g^{\mu\nu}\frac{\partial \phi(\lambda x)}{\partial \lambda x^\mu}\frac{\partial \phi(\lambda x)}{\partial \lambda x^\nu} d \lambda x^0 d \lambda x^1 d\lambda x^2 d \lambda x^3 = \int g^{\mu\nu}\frac{\partial \phi( y)}{\partial y^\nu}\frac{\partial \phi(y)}{\partial y^\nu} dy^0dy^1dy^2dy^3 = I[\phi]\:.$$ así $$I[\phi_\lambda]= I[\phi]\:.$$ La diferencia con los espinores es que sólo un El derivado entra en acción y esto explica la diferente potencia. Os dejo los cálculos sencillos.