Prueba $\displaystyle{\lim_{x \to 2}}\,x^3 + 1 = 9$ $(\delta < 1 \text{ or } \delta \leq 1)?$

Question

Mi profesor de matemáticas ha hecho hoy una demostración de esta prueba y no estoy seguro de haber entendido todos los pasos. No entiendo por qué el $\delta$ debe dividirse por 2 después de seleccionar el mínimo. Aquí están los pasos que mostró:

Debemos mostrar $\forall\epsilon > 0, \exists\delta > 0$ (llamémoslo eq1): $$|x-2| < \delta \implies |x^3 + 1 - 9| = |x-2||x^2 + 2x + 4| < \epsilon$$

Supongamos que $\delta < 1$ esto limita $|x - 2| < 1$ e implica $1 < x < 3$ . Ahora lo sabemos:

$$|x^2 + 2x + 4| < 19$$ Por lo tanto, si podemos mostrar: $$|x-2| < \delta \implies |x-2||x^2 + 2x + 4| < 19|x-2| < \epsilon$$ eq1 sigue para $\delta < 1$ . Lo anterior es trivialmente cierto para $\delta = \epsilon/19$ . Pero debemos tener en cuenta $\delta >= 1$ y por lo tanto fijado: $$ \delta = \frac{1}{2}\min(\epsilon/19,1) $$ QED. ¿Por qué el $\frac{1}{2}$ ¿se necesita un factor? A mí me parece redundante. Según el profesor $\delta = 1$ es una posibilidad. Pero si $\delta = 1$ entonces $\epsilon = 19$ y: $$|x-2| < 1 \implies |x-2||x^2 + 2x + 4| < 19$$ es obviamente cierto. ¿Podría la $\frac{1}{2}$ se habría evitado suponiendo que $\delta <= 1$ ?

Ni siquiera estoy seguro de por qué tengo que "ensuciar" mi prueba cubriendo el $\delta >= 1$ caso con el $\min$ función. ¿No puedo decir simplemente "La demostración es válida para deltas pequeños ( $\delta < 1$ ) que es lo único que importa para los límites".

Answer 1

Tienes toda la razón. No hay necesidad de tener ese factor de $1/2$ . No es un comentario personal sobre su profesor, pero en este caso su argumento es claramente erróneo. En realidad no suponemos $\delta<1$ sino asumir que $|x-2|<1$ . Basándonos en esta restricción de los valores de $x$ podemos ver que $|f(x) - L|<19|x-2|$ . Si además restringimos los valores de $x$ por $|x-2|<\epsilon/19$ (además de la restricción anterior $|x-2|<1$ ) entonces tenemos la desigualdad deseada $|f(x) - L|<\epsilon$ . Las restricciones sobre $x$ pueden combinarse como $|x-2|<\min(1,\epsilon /19)$ . Y por lo tanto, si tomamos $\delta=\min(1,\epsilon /19)$ entonces sabemos que se cumple la siguiente implicación $$0<|x-2|<\delta\Rightarrow |f(x) - L|<\epsilon$$ En lo anterior hemos tomado $f(x) =x^{3}+1,L=9$ . También hay que tener en cuenta que si uno $\delta$ funciona con cualquier $\delta$ también funciona así que la respuesta $\min(1,\epsilon/19)/2$ también es correcto, pero esto no es una necesidad (como su profesor quiere argumentar sobre el caso $\delta\geq 1$ ).

Recuerde que no suponemos nada sobre $\delta$ (aparte de que sea positivo) y más bien evaluarlo en términos de $\epsilon$ basándose en un análisis cuidadoso de las desigualdades implicadas. Obsérvese también que no existe una expresión única para $\delta$ en este tipo de problemas y las respuestas pueden variar.

Answer 2

Cuando utilizamos $\epsilon-\delta$ lenguaje para demostrar algo, lo que realmente importa es la existencia de $\delta$ . Así que supongamos que usted podría encontrar algunos candidatos viables de $\delta$ siempre puede elegir cualquier otro $\delta$ que menos que ellos.