Cómo calcular $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^3}$ con un error inferior a $0.01$ ?

Question

Cómo calcular $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^3}$ con un error inferior a $0.01$ ?

Para resolver la pregunta, creo que tenemos que escribir los términos.

Así que $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^3}=-1+\frac18-\frac{1}{27}+\frac{1}{64}-...+\frac{(-1)^n}{n^3}$ . Sin embargo, no veo el patrón, así que ¿cómo vamos a estimarlo?

Answer 1

Respuesta corta: el quinto término es el primer término con valor absoluto menor que $0.01$ por lo que la suma puede estimarse en $0.01$ del valor real con sólo el primer $4$ ¡Términos!

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Sabemos que esta serie converge, porque es una serie alterna cuyos términos son estrictamente decrecientes y van a cero.

Sea $S$ sea el valor de la suma. Sea $S_k$ sea el $k^{\text{th}}$ suma parcial, o

$$S_k=\displaystyle\sum_{n=1}^{k} \frac{(-1)^n}{n^3}$$

El hecho de que la serie sea alterna y tenga términos estrictamente decrecientes significa que

$$ S_k > S \qquad\qquad \text{if } k \equiv 0 \pmod{2} $$ y $$ S_k < S \qquad\qquad \text{if } k \equiv 1 \pmod{2} $$

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Esto implica, para todos $k$ ,

$$|S-S_k| < \frac{1}{(k+1)^3}$$

La primera $k$ para lo cual

$$\frac{1}{(k+1)^3} < \frac{1}{100}$$

es $k=4$ . Por lo tanto, se puede estimar con

$$S \approx \sum_{n=1}^4 \frac{(-1)^n}{n^3}$$

Answer 2

El error en una serie alterna con término decreciente no es mayor que el primer término omitido.

Answer 3

Sugerencia . Se puede observar que, como cualquier serie alterna con término general decreciente, se tiene $$ \left|\sum_{n=N}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^3}\right|\leq \left|\frac{(-1)^N}{N^3}\right|, $$ entonces nos gustaría tener $$ \frac1{N^3}< \frac{0.01}2 $$ es decir $$ N\geq 6. $$ Entonces se puede evaluar $$ \sum_{n=1}^{6}\frac{(-1)^n}{n^3} $$ con un error inferior a $\dfrac{0.01}2$ .

Answer 4

Cada término generado por $(-1)^n/n^3$ se suma (o se resta) a la suma. Para hallar la suma con una precisión de 0,01, o $1/100$ tenemos que encontrar cuando el valor absoluto de los términos es menor que $1/100$ .

\begin{align} \frac{1}{n^3}&<\frac{1}{100}\\ 100&<n^3\\ n&>\sqrt[3]{100}\approx4.64 \end{align}

Así, la suma estará dentro de 0,01 después de 4 trimestres. Buscar en Serie alternada Resto para más información.