Teorema de la función implícita y diferenciación implícita

Question

Este es tal vez algo simple, pero no estoy recibiendo por qué la implicación es verdadera; me parece que falta algo.

Supuestamente, el teorema de la función implícita:

Deje $f: \mathbb{R}^{n + m} \rightarrow \mathbb{R}^m$ ser continuamente una función derivable, y deje $\mathbb{R}^{n+m} $ tienen coordenadas $( x, y)$ donde$x \in \mathbb{R}^n$$y\in \mathbb{R}^m$. Fijar un punto de $( a , b) = (a_1 , \ldots , a_n , b_1 , \ldots, b_m )$ $ f( a, b) = c$ donde $c \in \mathbb{R}^m$. Si la matriz $( \partial f_i/\partial y_j)(a,b)$ es invertible, entonces existe un conjunto abierto $U$ contiene $a$, y un conjunto abierto $V$ contntaining $b$, y un único continuamente función derivable $g: U \rightarrow V$ tal que $$ \{ (\mathbf{x}, g(\mathbf{x}))|\mathbf x \in U \} = \{ (\mathbf{x}, \mathbf{y}) \in U \times V| f(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{c} \}.$$

implica que la diferencia implícita está bien:

$$ \frac{dy}{dx} = -\frac{\partial F / \partial x}{\partial F / \partial y}.$$

Lo que me estoy perdiendo aquí? Me disculpo si esto es algo muy trivial.

Answer 1

Deje $ F: \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R} $ ser continuamente una función derivable. Fijar un punto de $ (a,b) \in \mathbb{R}^{2} $, y deje $ c = F(a,b) $. Siguiente, calcular el Jacobiano de $ F $: $$ \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2}: \quad [\mathbf{D}(F)](x,y) = \left[ \matriz{{\partial_{1} F}(x,y) & {\partial_{2} F}(x,y)} \right]. $$ Si $ {\partial_{2} F}(a,b) \neq 0 $, entonces el Teorema de la Función Implícita implica que existen

• un intervalo abierto $ U $ contiene $ a $,

• un intervalo abierto $ V $ contiene $ b $ y

• continuamente una función derivable $ f: U \to V $

tal que

• $ f(a) = b $ y

• $ \{ (x,y) \in U \times V ~|~ F(x,y) = c \} = \{ (x,f(x)) \in \mathbb{R}^{2} ~|~ x \in U \} $.

Ahora, definir una función $ G: U \to \mathbb{R} $ por $$ \forall x \U: \quad G(x) \stackrel{\text{def}}{=} F(x,f(x)). $$ Claramente, tenemos $$ \forall x \U: \quad G(x) = c. $$ Se sigue, por tanto, de la Multivariable Regla de la Cadena que \begin{align} \forall x \in U: \quad 0 &= G'(x) \\ &= {\partial_{1} F}(x,f(x)) \cdot 1 + {\partial_{2} F}(x,f(x)) \cdot f'(x) \\ &= 0. \end{align} Como $ {\partial_{2} F}(a,b) \neq 0 $, por lo tanto, obtener \begin{align} f'(a) &= - \frac{{\partial_{1} F}(a,f(a))}{{\partial_{2} F}(a,f(a))} \\ &= - \frac{{\partial_{1} F}(a,b)}{{\partial_{2} F}(a,b)}. \end{align}