Inexistencia de límite de mapa tomando al toro a la cuña de círculos homeomórficamente

Question

En concreto, la pregunta dice a considerar el torus $T$ como un cuadrado con la habitual identificaciones, con dos polos de aristas de contorno etiquetados $a$ y los otros dos bordes marcados $b$, y considerar la cuña de dos círculos $S$ tener dos orientado bucles etiquetados $\alpha$$\beta$. Tengo que demostrar que no hay ningún mapa continuo $T\to S$ que se lleva a $a$ $\alpha$ $b$ % # % homeomorphically.

Yo debería ser capaz de hacer frente a este con homología de alguna manera, me imagino que algo así como asumiendo que no es un mapa y mostrar que la homología de grupos no están de acuerdo, pero yo no estoy viendo cómo empezar a ir sobre ella. El problema también me dice que también puede ser resuelto con el grupo fundamental, pero estoy aún un poco más perdidos a la hora de atacar de esa manera. Un empujón en la dirección correcta sería muy apreciada.

Answer 1

Bueno, el grupo fundamental de un toro es abeliano libre, el grupo fundamental de una cuña de círculos es gratis. Un mapa continuo induce un homomorfismo de grupos fundamentales, y sabes que tu mapa envía los generadores de $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ a los generadores de $F_2.$ pero ahora consideran el elemento $aba^{-1} b^{-1}$ es la identidad en el Grupo abeliano, pero su imagen no es la identidad en el grupo libre. Bastante goofy para un homomorfismo.