En la teoría de anillos tenemos claras descripciones del más pequeño ideal en un anillo $R$ que contiene un subconjunto $S$ $R$. ¿Me gustaría saber si existe tal descripción en teoría del grupo, es decir, si el $N(S)$ es el subgrupo normal más pequeño de % que contiene $G$% #%, puede describir $S$ con las operaciones de los grupos y los elementos de $N(S)$ y $S$? ¿Existe tal descripción si $G$ es un subgrupo? Gracias.
Respuestas
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El smallset subgrupo de $G$ que contiene el conjunto de $S$ es simplemente $\langle S \rangle$, el subgrupo generado por todos los elementos de a $S$, como cualquier subgrupo más pequeño que contiene a $S$ no sería cerrada.
Para describir la más pequeña de lo normal subgrupo que contiene $S$, podemos hacer algo similar. Queremos para $s^g$ a permanecer en el grupo para cualquier $s\in S, g\in G$, por lo que definimos $S^G=\{s^g:s\in S, g\in G\}$. A continuación, $\langle S^G \rangle$ es precisamente lo que queremos: el más pequeño subgrupo de $G$ contiene $S$ y todos los conjugados de los mismos. Como se puede ver no hay ninguna diferencia en estas definiciones si $S$ es un subgrupo.
En realidad, esto tiene un nombre: $\langle S^G \rangle$ es el normal de cierre, o conjugada de cierre, de $S$$G$. Un poco más de información sobre los cierres se pueden encontrar aquí, aunque no se puede decir mucho acerca de ellos, en general, sin mirar a casos específicos.
Homer
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Va a ser muy complicado, en ninguna parte cerca tan simple como la descripción del ideal generado por los elementos de un anillo. Por ejemplo, en el grupo libre en 2 cartas de $a$$b$, el menor subgrupo normal que contiene el único elemento $aba^{-1}b^{-1}$ se compone de todas las palabras, donde la firma número total de $a$'s (es decir, el recuento $a^{-1}$ negativo) es igual a la firma del total de número de $b$'s. Y esta es una tarea relativamente simple caso para determinar. En general, existen presentaciones de grupo teniendo irresoluble problema de palabras, es decir, no existe ningún algoritmo para determinar si una palabra pertenece a la normal subgrupo generado por las relaciones, y los casos va a ser extremadamente complicado.
