Pregunta sobre la inclusión de Segre

Question

Este es de hecho un problema en GTM52 de Hartshone.

Definir $\psi : \mathbb{P}^{n}\times \mathbb{P}^{m}\longrightarrow \mathbb{P}^{N}$ donde $N=rs+r+s$ $(a_0,...,a_r)\times (b_0,...,b_s)=(...a_ib_j...)$ Mostrar que $Im\psi$ es una subvariedad de $\mathbb{P}^N$.

Hartshone dio una pista como sigue :

Vamos a la homogeneidad de las coordenadas de $\mathbb{P}^N$ $z_{ij}, i=0,..r; j=0,...,s$ y deje $\mathfrak{a}$ ser el núcleo de la homomorphism $k[{z_{ij}}]\rightarrow k[x_0,...,x_r,y_0,...,y_s]$ que envía a $z_{ij}$$x_iy_j$. A continuación, mostrar que $Im\psi=Z(\mathfrak{a})$

Mi idea es demostrar que : $I(Im\psi)\subseteq I(Z(\mathfrak{a}))$$I(Z(\mathfrak{a}))\subseteq I(Im\psi)$, pero esto lleva a un cálculo de $\mathfrak{a}$.

Así que, ¿cómo puedo utilizar la pista de Hartshone para resolverlo ? Por favor darme alguna sugerencia.

Gracias por leer mi pregunta !

Answer 1

Recordemos la definición de un subconjunto algebraico en el espacio proyectivo, es el cero, el locus de un conjunto de homgeneous polinomios. En este caso, estos polinomios se $z_{ab} z_{cd} - z_{ad} z_{cb}$ ("cambio de la primera coordenadas") y $z_{ab} z_{cd} - z_{cb} z_{ad}$ ("exchange el segundo coordenadas") por $0 \leq a,c \leq r$$0 \leq b,d \leq s$. Ya tenemos $x_a y_b x_c x_d = x_a y_d x_c x_b$$x_a y_b x_c x_d = x_c y_b x_a x_d$, la imagen de $\psi$ se encuentra en el cero, el locus de los polinomios. Por el contrario, asumir que $p=[p_{ij}] \in \mathbb{P}^N$ se encuentra en el cero, el locus, es decir, tenemos $p_{ab} p_{cd} = p_{ad} p_{cb}$$p_{ab} p_{cd} = p_{cb} p_{ad}$. Algunos de coordenadas es $\neq 0$, digamos w.l.o.g. $p_{00}=1$. Ahora intenta deducir $p_{ab} = p_{a0} p_{0b}$$p_{0b}=p_{b0}$, e inferir que $p$ se encuentra en la imagen.

También se puede comprobar que el $\psi$ es un isomorfismo en su imagen; en particular, la imagen es irreductible, es decir, de una variedad.