¿Existe un conjunto incontable de cruces disjuntos en el plano?

Question

¿Existe un conjunto incontable de cruces disjuntos en el plano?

Definimos una cruz como dos segmentos de línea abiertos con un punto de intersección.

Mi pensamiento inicial es que sí:

Por ejemplo, elija cualquier $r$ en el eje x y considerar la línea $x=r$ . Parece que siempre deberíamos poder encontrar espacio en esta línea para dibujar una cruz centrada en ella (ya que siempre podemos dibujar cruces de tamaño finito y movernos hacia arriba y hacia abajo de la línea para encontrar espacio).

Por lo tanto, podemos encontrar una biyección entre $ \mathbb{R} $ y el conjunto de cruces mapeando la coordenada x del centro de cada cruz a la propia cruz.

¿Es esto correcto?

Answer 1

Suponiendo que $C$ es un conjunto de incontables cruces disjuntos en el plano, sea $C_\epsilon$ sea el subconjunto de $C$ consistente en cruces de tamaño al menos $\epsilon$ . Por "tamaño", me refiero a la longitud de la "pata" más corta de la cruz.

Ahora bien, como $C$ es incontable, para algunos $\epsilon$ debemos tener $C_\epsilon$ también es incontable (ya que $C=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}C_{1\over n}$ ).

Ahora es fácil demostrar que cualquier cruz de tamaño $\epsilon$ no puede tener otra cruz de tamaño $\ge\epsilon$ "demasiado cerca" - específicamente, los centros de dos de tales cruces deben estar al menos $\epsilon$ distancia entre ellos. Así que cada $C_\epsilon$ es contable. Pero esto contradice el hecho anterior.

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Usted escribió

Parece que siempre deberíamos poder encontrar espacio en esta línea para dibujar una cruz centrada en ella (ya que siempre podemos dibujar cruces de tamaño finito y movernos arriba y abajo de la línea para encontrar espacio).

Si descomponemos esto, lo que describes -¡correctamente! - es un proceso para "añadir una cruz más" asumiendo que sólo hemos añadido un número finito de cruces hasta ahora . El problema es que con esto sólo se consiguen muchas cruces.

Llegados a este punto, es conveniente considerar una familia "máxima" de cruces, es decir, un número contable de cruces tal que no se puedan añadir más cruces sin que se superpongan.

Esto es en realidad bastante fácil de hacer, si vemos una cruz como no que contiene sus cuatro "puntos extremos" (por lo que se permite que dos cruces "casi se toquen"); dejo como ejercicio modificar este contraejemplo para que funcione para cruces con puntos finales.

A saber, que $L_1$ es el conjunto de puntos del plano cuyas coordenadas son ambas enteras, con la misma paridad (así $(0, 0)$ y $(1, 1)$ son buenas, pero $(0, 1)$ no lo es); y, habiendo definido $L_n$ , dejemos que $L_{n+1}$ sea el conjunto de puntos del plano, cuyas coordenadas tienen la forma " $k\over {2^{n}}$ " para algún entero impar $k$ . Intuitivamente, cada $L_n$ es una cuadrícula de puntos que corta el plano en cuadrados de tamaño $2^{1-n}$ y los puntos de $L_{n+1}$ son los centros de esos cuadrados.

Dejemos que $L=\bigcup L_n$ y observe que cada $x\in L$ está exactamente en una $L_n$ que el $n$ sea el rango de $x$ , $n=r(x)$ . Ahora considere, para cada $x\in L$ la cruz centrada en $x$ con patas que van en vertical y en horizontal, cada una de ellas de longitud $2^{r(x)-1}$ . La familia $C$ de tales cruces es máxima.

Answer 2

Si $S$ es un conjunto de tales cruces, sea $S_{\epsilon}\subset S$ sea el subconjunto de cruces cuyo lado más pequeño es $\ge \epsilon$ . Alrededor de cada centro de tales $\epsilon$ -Cruzado, hay un cuadrado de lado $\epsilon$ en la que hay no hay ningún otro centro de tal $\epsilon$ -Cruzado. Esto significa que si un rectángulo región $R$ del plano con lados paralelos a los ejes contiene $N$ cruza en $S_{\epsilon}$ contiene $N$ cuadrados no superpuestos de medida $\epsilon^2/4$ y la medida de este rectángulo es $\ge N \epsilon^2/4$ . En particular, un rectángulo sólo contiene un número finito de elementos de $S_{\epsilon}$ y como $\epsilon$ es arbitraria, sólo contiene un número contable de cruces. Dejando que el rectángulo crezca y cubra todo el plano, se obtiene el resultado:

no existe un conjunto incontable de cruces en el plano.