¿Es esto prueba mal?

Question

Para $n>1$, vamos a $a_1, a_2, \dots, a_n$ $n$ distintos números enteros. Demostrar que la polinomio $$f(x)=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n) - 1$$ no puede ser escrito como la producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros.

Mi Prueba (o intento)

Suponga que $f(x)$ puede ser escrito como $h(x)\cdot g(x)$. Nota para cualquier $x$, $f(x)$ debe ser un primo. Esto significa que tanto las $h(x)$ o $g(x)$ debe ser igual a $1$, pero dado que estos polinomios no constantes, tenemos una contradicción, y hemos terminado.

Fuente: el Arte de Resolver el Problema, Vol. 2

Answer 1

Supongamos que $f=gh$. Entonces $-1=f(a_i)=g(a_i)h(a_i)$. Desde $g(a_i)$ y $h(a_i)$ son números enteros, tenemos $g(a_i)=-h(a_i)$ % todos $i$. Si ambos $g$ y $h$ tienen grado menor que $n$, esto implica que el $g=-h$. Pero entonces $f=-g^2$, que no puede suceder porque no coinciden con los coeficientes principales.