$n \cdot \text{lcm}(a,b,2016) = ab-2016$

Question

Encuentra el mayor número par $n$ tal que existen enteros positivos $a,b$ con $n \cdot \text{lcm}(a,b,2016) = ab-2016$ .

Intenté utilizar el hecho de que $\text{lcm}(a,b,2016) \geq a,\text{lcm}(a,b,2016) \geq b,$ y $\text{lcm}(a,b,2016) \geq 2016$ pero no vi cómo usar esto para resolver la pregunta. ¿Cómo deberíamos enfocarlo?

Answer 1

Claramente 2016 divide $ab$ . Dejemos que $m=\mathrm{lcm}(a,b,2016)$ Entonces

$m\ge2016$

$\implies\ ab-2016=nm\ge2016n$

$\implies\ n\le\dfrac{ab}{2016}-1$

Por lo tanto, $n=\dfrac{ab}{2016}-1$ para ser lo más grande posible. A continuación,

$nm=ab-2016$ $\implies$ $m=2016$

Así que $a,b$ dividir $m$ y $a,b\le m=2016$ $\implies$ $\dfrac{ab}{2016}\le2016$ .

También $n$ es par, por lo que $\dfrac{ab}{2016}$ debe ser impar. El mayor divisor impar de 2016 es 63. Por lo tanto, podemos tomar

$\dfrac{ab}{2016}=63$ (por ejemplo $a=2016,b=63$ )

y así el mayor valor par de $n$ es $$\boxed{n=62}$$