Prueba simple de subgrupo, me gustaría algún consejo

Question

Dejemos que $\mathrm{GL}_2(\mathbb R)$ sea el grupo de los invertibles $2\times 2$ matrices con entradas reales. Consideremos $H$ que es el subconjunto de matrices de la forma

$$A=\begin{bmatrix}1 & b \\ 0 &1\end{bmatrix}$$

con $b$ un número entero. Es $H$ un subgrupo de $\mathrm{GL}_2(\mathbb R)$ ? Explica tu respuesta.

bien cuando $b = 0$ tenemos la identidad, y $\det |A| = 1$ por lo que es invertible y la inversa es simplemente $$\begin{bmatrix}1 & -b \\ 0 &1\end{bmatrix}$$ para todos $b$ en los enteros. Parece que estoy un poco perdido en el cierre. Claramente $$\begin{bmatrix}1 & -b \\ 0 &1\end{bmatrix}$$ multiplicado por $$\begin{bmatrix}1 & a \\ 0 &1\end{bmatrix}$$ donde $a$ está en los números enteros produce

$$\begin{bmatrix}1 & -b+a \\ 0 &1\end{bmatrix}$$ y $a - b$ donde $a$ y $b$ son enteros es un número entero. Así que tenemos no vacío y tenemos $A^{-1} B$ .

Entonces, ¿hemos terminado?

Answer 1

Bastante. Utiliza cualquier $b \in \mathbb{R}$ no $-b$ para subrayar que es un número real genérico, y como en su cálculo con $-b$ se obtiene una matriz de productos $$\begin{pmatrix} 1 & a+b \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} := C.$$ Como $a+b \in \mathbb{R}$ , $C \in H$ Así que $H$ está cerrado.