¿Son funciones lisas genéricamente inmersiones?

Question

Deje $T^2$ ser el toro y deje $\mathcal{C}^{\infty}(T^2, \mathbb{R}^3)$ ser el espacio de las funciones lisas de $T^2$ $\mathbb{R}^3$dotado de la norma $\|f\| = \sup_x |f(x)| + \sup_x \|df_x\|$.

Es una función genérica $f \in \mathcal{C}^{\infty}(T^2, \mathbb{R}^3)$ una inmersión?

Es decir, es el conjunto $$ \{f \in \mathcal{C}^{\infty}(T^2, \mathbb{R}^3) \,|\, \forall x\, \text{rango}\,df_x = 2 \} $$ abierto y denso en $\mathcal{C}^\infty(T^2, \mathbb{R}^3)$?

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Apertura está claro. Lo que no estoy seguro es si cualquier función suave puede ser bien aproximada por una inmersión.

Esto parece ser cierto para incrustaciones en $\mathcal{C}^\infty(M, R^N)$ donde $N > 2 \dim M$, como corolario de Whitney incrustación teorema de la prueba.

Answer 1

Considere la siguiente función $ f: S ^ 1 \times [-1,1] \to \mathbb R ^ 3\,, \quad f(\theta,z) = (\cos \theta z, \sin \theta z, z) \,, $$ que se asigna un cilindro en $\mathbb R^3$. Si es necesario, nosotros podemos extenderla a un mapa del Toro $\mathbb R^3$.

Reclamar que no es posible aproximar $f$ por una inmersión en la $C^1$-norma, porque $f$ orientación de inversión $z 0$, mientras que una inmersión podría ser sólo uno de esos.