¿Esta suma converge, es buena mi solución?

Question

ps

Diría que no converge, porque escribiría esto como:$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n)^{7}}{(n^{7}+1)^{1/2}} $ $

$$ $$$ \frac{\sin(n)^{7}}{(n^{7})^{1/2}} $$ when $ $ y luego escribiría esto como:

$ \lim_{n\to \infty} $ $ y luego diría que$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n)^{7}}{(n^{7})*n^{1/2}}$ $ converge, pero que el$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n)^{7}}{(n^{7})^{1/2}} $ $

no converge, por lo que la suma general no converge.

Answer 1

La suma converge porque$\sin(n)\leq 1$, entonces \begin{equation} \sum_{n=1}^{\infty} \Bigl| \frac{\sin^7(n)}{(n^7+1)^{1/2}} \Bigr| \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n^7+1)^{1/2}} < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n^7)^{1/2}} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{7/2}} \end {equation} La última serie converge, por lo que la serie dada converge absolutamente. La convergencia absoluta implica convergencia.

Answer 2

No se aplicar bien las propiedades de los exponentes. En cambio, se puede escribir: $$ \sum{n=1}^\infty \Bigg| \frac{\sin (n) ^ 7} {(n^7) ^ {1/2}} \Bigg| \leq \sum{n=1}^\infty \frac{1}{n^{7/2}} 1$.