Si no me equivoco, muchos matemáticos (creo que esto no se limita a los estructuralistas) están de acuerdo en que un sistema formal inconsistente no tiene ningún modelo. Por modelo entiendo algún tipo de conjunto cuya estructura (objetos más sus propiedades y relaciones) está representada por el sistema formal. Pero no he visto ninguna queja para los sistemas no sólidos. Para ser más específico: ¿por qué se consideran seriamente los modelos no estándar o la aritmética si no son sólidos? ¿Cómo es posible que la gente no pueda imaginar estructuras incoherentes pero sí estructuras poco sólidas? Por ejemplo, un sistema no sólido predeciría que una máquina de Turing se detendría incluso cuando una máquina real no lo haría. ¿Estoy equivocado?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Una posible respuesta es ésta. Normalmente, la razón por la que los modelos no estándar de la aritmética son interesantes no es que pensemos que realmente podrían ser lo que estamos tratando de hablar cuando hablamos de los números naturales. Lo que suele ser más interesante de ellos es que muestran que la lógica de primer orden no es lo suficientemente fuerte como para formular una teoría de los números naturales que definitivamente esté hablando de los números naturales.
Los axiomas de PA podrían estar describiendo los números naturales, pero también podrían estar describiendo alguna otra cosa extraña. Parece que no podemos superar este problema en la lógica de primer orden, y cualquier intento de "arreglar" el problema adoptando una lógica más fuerte probablemente se encontrará con más rarezas . Este enigma básico es una de las principales razones por las que los modelos no estándar de aritmética son interesantes.
Usted escribe:
"Mi problema es que [los modelos no estándar] demuestran cosas que no son ciertas sobre las máquinas de Turing, y sí hablan de máquinas de Turing, que son objetos muy específicos".
Una posible respuesta comienza señalando que una máquina de Turing $T$ en cuestión se codifica como un número natural, y la afirmación de que $T$ se codifica como una declaración sobre los números naturales. Si introducimos esa afirmación en un modelo no estándar $M$ y escupe que $T$ no se detiene, podemos decir que el problema es que nuestra codificación de una máquina de Turing como número natural, y la afirmación de que $T$ se detiene como una afirmación sobre los números naturales, ya no tiene el significado que pretendemos cuando los objetos no son números naturales sino objetos de $M$ .
Nuestra codificación no coincide con nuestro sustrato (como si escribiéramos en inglés en un teclado ruso). En efecto, ya no estamos hablando de máquinas de Turing; estamos hablando de algún otro tipo extraño de objeto que surge de la interacción entre nuestro complicado enunciado aritmético y nuestro complicado modelo no estándar.
Por ejemplo, podría darse el caso de que en un sistema aritméticamente inseguro se pueda demostrar que una máquina de Turing que no se detiene en el mundo "físico", o mejor dicho, después de un número finito de pasos, sí se detendría después de un número transfinito de pasos (es decir, para algún número no estándar).
Hurkyl
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En cuanto a la pregunta del título, después de reflexionar sobre ella, diría que la razón por la que no hablamos de sistemas de deducción poco sólidos es porque adaptamos el significado de "interpretación" y "modelo" para que se ajuste al sistema deductivo.
La incoherencia, por otro lado, es un fallo drástico de la lógica clásica debido a la principio de explosión (y tales teorías no tienen modelos). (hay son paraconsistente lógica, sin embargo)
Como la otra respuesta no lo decía explícitamente ni en los comentarios, los modelos no estándar de aritmética son no modelos de sistemas poco sólidos. Son (generalmente) modelos de una teoría consistente en la lógica ordinaria de primer orden; en particular. Son no estándar porque no son isomorfos al modelo "previsto" para el que se diseñó la teoría.
