Esto fue inspirado por este post. Deje $q = e^{2\pi\,i\tau}$. A continuación,
$$x := \left(\frac{\eta(\tau)}{\eta(2\tau)}\right)^{24} = \frac{1}{q} - 24 + 276q - 2048q^2 + 11202q^3 - 49152q^4+ \cdots\tag1$$
donde $\eta(\tau)$ es el Dedekind eta función.
Por ejemplo, vamos a $\tau =\sqrt{-1}$ $x = 2^9 =512 $ $(1)$ "explica" por qué,
$$x = 512 \approx e^{2\pi}-24 = 511.49$$
P: Vamos A $q = e^{-\pi}$. Podemos encontrar una relación, $$\pi = \frac{1}{q} - 20 +c_1 q + c_2 q^2 +c_3 q^3 +\cdots\tag2$$ donde el $c_i$ están bien definidos, enteros o racionales tales que $(2)$ "explica" por qué los $\pi \approx e^{\pi}-20$?
Actualización: Por ejemplo, tenemos el curioso,
$$y_1 := \frac{1}{q} - 20 +\tfrac{1}{48}q - \tfrac{1}{300}q^3 -\tfrac{1}{972}q^5 +\tfrac{1}{2160}q^7+\tfrac{1}{\color{brown}{2841}}q^9-\tfrac{1}{\color{brown}{2369}}q^{11}-\cdots\tag3$$
$$y_2 := \frac{1}{q} - 20 +\tfrac{1}{48}q - \tfrac{1}{300}q^3 -\tfrac{1}{972}q^5 +\tfrac{1}{2160}q^7+\tfrac{1}{\color{brown}{2842}}q^9-\tfrac{1}{\color{brown}{2810}}q^{11}-\cdots\tag4$$
y con $q = e^{-\pi}$,
$$\pi - y_1 \aprox -4\times 10^{-22}\\ \pi - y_2 \aprox -3\times 10^{-22}$$
No parece ser un indefinido número de fórmulas, donde la elección de un coeficiente (por ejemplo, $2841$ o $2842$) determina la constante de la estructura de árbol de fórmulas. Sin embargo, puede ser un subconjunto donde los coeficientes tienen una forma cerrada.
