Que describe el álgebra de funciones en $S^2$

Question

Capítulo 2 del libro "Elementos de geometría no conmutativa" afirma que la $C^$-álgebra de funciones $S^2$ puede describirse como un álgebra con 3 generadores a, b, c con norma 1, donde $a,b$ son positivos y $c^c = 4ab.$ sin embargo te dice nunca explícitamente que son funciones de la esfera. ¿Qué son?

Answer 1

Son el $\ell=1$(%)-armónicos esféricos; algunos se proporciona ayuda en la referencia justo después de la declaración (que es en alemán):

$ a = \sqrt {\frac {8 \pi}{3}}Y{1,1} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\sin \theta, \,\,b=\sqrt{\frac{8 \pi}{3}}Y{1,-1} = \mathrm{e}^{\mathrm{-i}\phi}\sin \theta,\,\, c: = c +-c = \cos \theta=\sqrt{\frac{4\pi}{3}}Y{1,0}. $$ donde $c-+c+=1$. La relación es realmente $ab=4c-c_+$ para esta opción de normalización (que puede ser redefinido).