Problema de estabilizador de órbita (creo)

Question

Deje $G$ (finito) de la ley de transitivamente en el conjunto no vacío $\Omega$. Mostrar que si $\alpha \neq \beta$ son elementos de $\Omega$ $G_{\alpha}G_{\beta}$ es un subconjunto de a $G$ donde $G_{\alpha}$ $G_{\beta}$ son los estabilizadores de $\alpha$ $\beta$ G, respectivamente.

Aquí está lo que he hecho:

Deje $\mathcal{O}$ el valor de la órbita de los elementos de $G$ actuando en $\Omega$. A continuación, utilizando la órbita estabilizador teorema y el hecho de que $|G_{\alpha}G_{\beta}| = \frac{|G_{\alpha}||G_{\beta}|}{|G_{\alpha}\cap G_{\beta}|}$ podemos deducir que \begin{equation} |G_{\alpha}G_{\beta}|=\frac{|G|^{2}}{|\mathcal{O}|^{2}\cdot |G_{\alpha} \cap G_{\beta}|}. \end{equation}

Aquí es donde me quedo atascado. Está claro que $|G_{\alpha}|=|G_{\beta}|$ así que me gustaría argumentar que $G_{\alpha}=G_{\beta}$, de modo que $G_{\alpha} \cap G_{\beta} =G_{\alpha}=G_{\beta}$. Este sería entonces dar ese $G_{\alpha}G_{\beta}=\frac{|G|}{\mathcal{O}}$ desde $|G_{\alpha}|=\frac{|G|}{\mathcal{O}}$, en cuyo caso yo probablemente podría hacer un argumento de por qué $|\mathcal{O}| > 1$. No podría ser cierto que los estabilizadores para $\alpha$ $\beta$ son iguales, ya que no puede argumentar que en el que caso de que esto no iba a funcionar, obviamente.

Answer 1

$\newcommand{\Size}[1]{\vert #1 \rvert}$Creo que usted está casi allí, con su enfoque.

Supongamos $G = G_{\alpha} G_{\beta}$. Entonces $$\{G} = |G_{\alpha}G_{\beta}| = \frac {\{G_{\alpha}} \cdot \{G_{\beta}}} {\{G_{\alpha}\cap G_{\beta}}},$$ así que $$ \{\Omega} = \frac {\{G}} {\{G_{\beta}}} = \frac {\{G_{\alpha}}} {\{G_{\alpha}\cap G_{\beta}}}. $$ Este le dice que $G_{\alpha}$ es transitiva en a $\Omega$ (por orbit-estabilizador, como $G_{\alpha} \cap G_{\beta}$ es el estabilizador de la $\beta$ en la acción de la $G_{\alpha}$$\Omega$), lo cual sólo es posible por supuesto, cuando la $\Omega = \{ \alpha \}$. Pero por supuesto, $\Omega$ contiene al menos dos elementos distintos $\alpha, \beta$.

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PS yo estoy suponiendo que todo lo finito aquí, ya que estaban tomando pedidos, etc. Pero el resultado es cierto en general. Esto es equivalente a demostrar que un grupo no puede ser el producto de una adecuada subgrupo $H$ y uno de sus conjugados $H^{g}$. ($G$ ser transitivo, todos los estabilizadores son conjugado.) Usted puede encontrar una prueba en este spoiler - $G$ es reclamado para ser finito, pero la prueba de obras en general.