Calcular el límite $\lim_{x \to 2} \frac{x^2\sqrt{x+2}-8}{4-x^2}$

Question

Calcular el límite

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2\sqrt{x+2}-8}{4-x^2}$$

He intentado factorizar y simplificar, pero no encuentro nada bueno. $$\lim_{x \to 2} \frac{\frac{x^2(x+2)-8\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+2}}}{(4-x^2)}$$

Answer 1

Debe utilizar La regla de L'Hôpital.

Answer 2

Sustituir $t=\sqrt{x+2}$ ; si $x\to2$ entonces $t\to2$ Así que, después de hacer $x=t^2-2$ , se obtiene \begin {align} \lim_ {t \to2 } \frac {t(t^2-2)^2-8}{4-(t^2-2)^2} &= \lim_ {t \to2 } \frac {t^5-4t^3+4t-8}{4t^2-t^4} \\ [4px] &= \lim_ {t \to2 } \frac {t^3(t^2-4)+4(t-2)}{t^2(4-t^2)} \\ [4px] &= \lim_ {t \to2 } \left (-t- \frac {4}{t^2(2+t)} \right ) \end {align}

Answer 3

La norma de L'Hôpital no es necesaria. Estos son los pasos $$\lim\limits_{x\to 2} \frac{x^2\sqrt{x+2}-8}{4-x^2}$$ $$=\lim\limits_{x\to 2} \frac{8-x^2\sqrt{x+2}}{(x-2)(x+2)}$$ Dejemos que $t=\sqrt{x+2}$ entonces $$\lim\limits_{t\to 2} \frac{8-\left(t^2-2\right)^2 t}{\left(t^2-4\right)t^2}$$ $$=\lim\limits_{t\to 2} \frac{\left(-t^5+4t^3-4t+8\right)}{(t-2)(t+2)t^2}$$ $$=\lim\limits_{t\to 2} \frac{-(t-2)\left(t^4+2t^3+4\right)}{(t-2)(t+2)t^2}$$ $$=\lim\limits_{t\to 2} \frac{-\left(t^4+2t^3+4\right)}{(t+2)t^2}$$ $$=\lim\limits_{t\to 2} \frac{-\left(t^2+2t+\frac{4}{t^2}\right)}{t+2}$$ $$=-\frac{\left(4+4+1\right)}{2+2}$$ $$=-\frac{9}{4}$$

Answer 4

Dado que el PO no conoce la regla de L'Hospital (todavía), este enfoque no es probablemente la mejor manera. Cuando se multiplica la parte superior e inferior por $x^2\sqrt{x+2}+8$ se obtiene la fracción: $\frac{x^5+2x^4-64}{(4-x^2)(x^2\sqrt{x+2}+8)}$ Tanto NUM como DENOM tienen un factor $x-2$ En el caso de las NUM, se podría realizar una división larga para llegar a $x^4+4x^3+8x^2+16x+32$ y en el caso del DENOM, es por supuesto sencillo. ¿Puedes terminarlo desde aquí?

Answer 5

Parece que no conoce la regla de l'Hôpital. También es posible sin necesidad de diferenciación. Multiplique el numerador y el denominador con la llamada expresión conjugada del numerador:

$$\frac{x^2 \sqrt{x+2} - 8}{4-x^2} = \frac{\left( x^2 \sqrt{x+2} - 8 \right)\left( x^2 \sqrt{x+2} + 8 \right)}{\left(4-x^2\right) \left( x^2 \sqrt{x+2} - 8 \right)}$$

A continuación, simplifique mediante $(a-b)(a+b) =a^2-b^2$ en el numerador:

$$\frac{x^4(x+2)-64}{\left(4-x^2\right) \left( x^2 \sqrt{x+2} - 8 \right)}$$

Ahora debes factorizar para tener un factor común $x-2$ en el numerador y el denominador. En el denominador es fácil a través de $4-x^2 = (2-x)(2+x)=-(x-2)(x+2)$ . Para el nominador, se sabe que el polinomio divide $(x-2)$ desde $x=2$ es una raíz del polinomio. Puedes utilizar la división larga o Método de Horner por esto:

$$x^4(x+2)-64 = x^5+2x^4-64=(x-2) (x^4+4 x^3+8 x^2+16 x+32)$$

Así que volvamos al límite:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 \sqrt{x+2} - 8}{4-x^2} =\lim_{x \to 2} \frac{(x-2) (x^4+4 x^3+8 x^2+16 x+32)}{-(x-2)(x+2) \left( x^2 \sqrt{x+2} + 8 \right)}$$

Anular el factor común $x-2$ y enchufar $x=2$ simplificar:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x^4+4 x^3+8 x^2+16 x+32}{-(x+2) \left( x^2 \sqrt{x+2} + 8 \right)} = \ldots = -\frac{9}{4}$$

Si has visto la regla de l'Hôpital, las otras respuestas te dan una alternativa.