¿Puede haber una curva que llene el espacio en un espacio dimensional infinito?

Question

La curva de Hilbert es un ejemplo clásico de una familia de curvas cuyo límite llena el cuadrado unitario, que puede extenderse a todo el plano. Hay análogos de la curva en tres dimensiones, y se podría suministrar una curva que llene el espacio en cualquier número finito de dimensiones, al parecer, simplemente extendiendo la curva de Hilbert.

¿Podría haber una curva de llenado de espacio en un espacio dimensional infinito? ¿O hay demasiados grados de libertad para que una simple línea lo llene todo? ¿Espacios contables, incontables e infinitos?

Answer 1

Para incontables dimensiones:

Consideremos el espacio vectorial $V$ de funciones de $\Bbb R$ a $\Bbb R$ . Su cardinalidad es mayor que la de $\Bbb R$ (por un argumento de diagonalización, creo). También lo es la cardinalidad del "cuadrado unitario" en ese espacio. Por lo tanto, no puede haber un mapa suryectivo de la línea real a ese cuadrado unitario.

Así que, al menos en un caso, la respuesta es "no".