Derivada n veces de $\sqrt x$

Question

Encontrar una "fórmula" (¿mala traducción?) del $n$ -temporizada ( $n\in \mathbb N$ ) derivada de $\sqrt x$ y demostrar que es correcto para todos $n$ con inducción. Lo que encontré: $$({1\over2})^{n-1}|{3\over2}-n|(-1)^{n+1}\over{x^{n-1/2}}$$

¿Es correcto? Si es así, ¿cómo demuestro que lo es por inducción?

Answer 1

Sea $f(x) = x^{1/2}$ entonces

• $f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2}$
• $f''(x) =\frac{1}{2}\frac{-1}{2}x^{-3/2}$
• $f^{(3)}(x) = \frac{1}{2}\frac{-1}{2}\frac{-3}{2}x^{-5/2}$
• $f^{(4)}(x) = \frac{1}{2}\frac{-1}{2}\frac{-3}{2}\frac{-5}{2}x^{-7/2}$

Así que tal vez $$\large f^{(n)}(x) = (-1)^?\frac{?}{2^n}x^{\frac{-2n+1}{2}}. $$ Probablemente puedas encontrar las piezas que faltan.

En cuanto a probando que esta fórmula es cierta, podrías utilizar inducción : Como se ha mostrado anteriormente, la fórmula es cierta para $n=1$ . Por lo tanto, supongamos que es cierto para $n$ y probarlo para $n+1$ . Así que usted consigue $$\large f^{(n+1)}(x) = \frac{d}{dx}[(-1)^?\frac{?}{2^n}x^{\frac{-2n+1}{2}}] = \dots = (-1)^?\frac{?}{2^{n+1}}x^{\frac{-2(n+1) + 1}{2}}. $$ De nuevo, probablemente usted pueda completar los detalles que faltan. Y una vez que hayas llegado hasta aquí, ya has terminado.

Answer 2

Cada vez que derivas te baja la potencia, y las potencias son:

$$\frac{1}{2}..\frac{-1}{2}..\frac{-3}{2}...$$

El denominador es $2^k$ y el numerador es $\prod_{i=1}^k(2i-3)$ más un $(-1)^{k+1}$ para la $-$ signos. por último, los poderes de $x$ se reducen en $1/2$ Cada vez. La fórmula final es:

$$(\sqrt{x})^{(k)}=\frac{(-1)^{k+1}(\prod(2i-3))x^{\frac{1-2k}{2}}}{2^k}$$