En Chevalley ' lineal identificar el % de álgebra de Clifford $C(\mathbf p)$con el álgebra exterior $\wedge \mathbf p$

Question

En la lectura de Sternberg notas sobre álgebras de Clifford y spin representaciones (página 148) me encontré con el siguiente:

"...Considerar el lineal mapa $$C(\mathbf p)\rightarrow \wedge \mathbf p, x\mapsto x1$$ where $1\en \wedge^{0}\mathbf p$ under the identification of $\wedge^{0}\mathbf p$ with the ground field. The element $1$ on the extreme right means the image of 1 under the action of $x\in C(\mathbf p)$. "

Me estoy preguntando cómo derivar la forma explícita de este mapa. Sternberg dar un homomorphism $C(\mathbf p)\rightarrow \operatorname{End}{(\wedge \mathbf p)}$ al ampliar el mapa de $\mathbf p\rightarrow \operatorname{End}{(\wedge \mathbf p)}$, el cual es definido por $v\mapsto \epsilon(v)+\iota(v)$. En este caso $\epsilon(v)$ denota el exterior mulplication por $v$ $\iota(v)$ a ser el adjunto de a $\epsilon(v)$ en relación a la biinear forma dada por la $(x_{1}\wedge\cdots\wedge x_{k},y_{1}\wedge\cdots\wedge y_{k})=\det((x_{i},y_{j}))$.

Por lo tanto, tenemos $ \epsilon(v)+\iota(v)(u)=v\wedge u+Au$,$(v\wedge u, w)=(u,Aw),\forall u,v,w\in \wedge\mathbf p$. Sternberg sostiene que $(\epsilon(v)+\iota(v))^{2}=(v,v)_{\mathbf p}\operatorname{id}$, por lo tanto, podemos extenderla a través de universal propiedad a un mapa de $C(\mathbf p)\rightarrow \wedge(\mathbf p)$.

Esta relación es que no me queda claro porque no veo cómo $\epsilon(v)(\iota(v)(u))+\iota(v)(\epsilon(v)(u))=(v,v)_{\mathbf p}u$, es decir, en el lado izquierdo se encuentra en el exterior del producto, mientras que la IZQUIERDA está en una buena forma cerrada.

Esta confusión se ve obstaculizada me ayudó a comprender la naturaleza de la lineal mapa que él dio. Por ejemplo, Sternberg escribió: $$v_{1}v_{2}\rightarrow v_{1}\wedge v_{2}+(v_{1},v_{2})1$$ and $$v_{1}v_{2}v_{3}\rightarrow v_{1}\wedge v_{2}\wedge v_{3}+(v_{1},v_{2})v_{3}-(v_{1},v_{3})v_{2}+(v_{2},v_{3})v_{1}$$ yo no sé cómo derivar estas fórmulas explícitamente, creo que debería ser elemental en la naturaleza y fáciles de trabajar hacia fuera con la mano. Así que debo haber perdido algo.

Answer 1

Es suficiente como para considerar la acción de $\epsilon_v \equiv \epsilon(v)$ y $\iota_v \equiv \iota(v)$, $v \in {\bf p}$ sobre la base de una $\wedge {\bf p}$.

$\epsilon_v(1) \equiv v$; $\epsilon_v(v_1 \wedge \cdots \wedge v_k) \equiv v \wedge v_1 \wedge \cdots \wedge v_k$.

$\iota_v(1) \equiv 0$; $\iota_v(v_1 \wedge \cdots \wedge v_k) \equiv \sum_{j=1}^k (-1)^{j-1} (v,v_j)_{\bf p} v_1 \wedge \cdots \hat{v}_j \cdots \wedge v_k$,

donde $\hat{v}_j$ significa que $v_j$ es omitido de producto.

Entonces para cualquier $v, w \in {\bf p}$ $x = x_1 \wedge \cdots \wedge x_k \in \wedge {\bf p}$

$\iota_v (\epsilon_w (x)) = \iota_v (w \wedge x) = (v,w)_{\bf p} x - w \wedge \iota_v (x)$

Por lo $\iota_v (\epsilon_w (x)) + \epsilon_w (\iota_v (x)) = (v,w)_{\bf p} x$

después de la omisión de $x$ tenemos $\iota_v \epsilon_w + \epsilon_w \iota_v = (v,w)_{\bf p} {\rm id}$.

E. g. véase Gilbert J. E., Murray M. A. M. álgebras de Clifford y Dirac operadores en el análisis armónico (TAZA, 1991)