Si $X$ y $Y$ son Hausdorff, es compacto, $X$ y $f:X\to Y$ es continua y sobreyectiva, entonces $f$ está abierto.

Question

Me fue dada la siguiente afirmación:

Si $X$ $Y$ son Hausdorff, $X$ es compacto, y $f:X\to Y$ es continua y surjective, a continuación, $f$ está abierto.

Sin embargo, creo que tengo un contraejemplo:

Definir $f:[0,3]\to[0,2]$ por

$$ x\mapsto\begin{cases} x&0\leq x\leq1,\\ 1&1<x<2,\\ x-1&2\leq x\leq3. \end{casos} $$

A continuación, $[0,3]$ $[0,2]$ son Hausdorff, $[0,3]$ es compacto, y $f$ es continua y surjective. Sin embargo, $[0,3/2)$ está abierto en $[0,3]$ pero $f([0,3/2))=[0,1]$ no está abierto en el $[0,2]$.

¿Esto es correcto? Si es así, entonces hay un teorema similar?

Answer 1

Hay algo más o menos similar teoremas:

1. Si $X$ es compacto y $Y$ es Hausdorff, entonces $f\colon X\to Y$ es cerrado.
2. Si $f$ es además bijective, a continuación, $f(U^C)=f(U)^C$ e lo $f$ está abierto
3. En el análisis funcional no es la asignación abierta teorema. Continua lineare operadores de la afirmación es verdadera, hay abierto si y sólo si, se surjective.