¿Cómo comparar la función máxima de Hardy-Littlewood para bolas y cubos?

Question

Actualmente estoy trabajando con un conjunto de notas que encontré en Internet en: http://math.msu.edu/~charlesb/Notes/DuoChapter2.pdf

Estoy en la página 8, y se acaba de introducir la función máxima de Hardy-Littlewood para las bolas. Luego dice que también podemos definir funciones maximales sobre cubos centrados en $x$ . Luego está la frase: "Además, como el $n$ -Los volúmenes dimensionales del cubo unitario y de la bola unitaria son iguales hasta un multiplicativo que sólo depende de $n$ es inmediato que $Mf$ y $M'f$ son comparables en el sentido de que $c_nM'f(x)\leq Mf(x)\leq C_nM'f(x)$ para las constantes $c_n$ y $C_N$ sólo depende de $n$ ."

Puede que sea inmediato para el autor, pero para mí no lo es en absoluto. No puedo entender por qué esto es cierto. ¿Alguien tiene una prueba? ¿Y hay una fórmula para $c_n$ y $C_n$ ?

Lo único que se me ocurre es que tal vez sea posible hacer algún tipo de comparación entre el tamaño de una pelota y el de un cubo, utilizando ambos el mismo $r$ pero entonces las integrales pueden no ser iguales para comparar la función máxima completa...

Answer 1

Teorema. Dejemos que $\mathcal{M}$ y $M$ denotan la función máxima de Hardy-Littlewood no centrada y centrada utilizando bolas, y sea $\mathcal{M}_{c}$ y $M_{c}$ denotan la función máxima de Hardy-Littlewood no centrada y centrada utilizando cubos. Para $f\in L_{loc}^{1}(\mathbb{R}^{n})$ ,

$$\dfrac{2^{n}}{(v_{n}n^{n/2})}\leq\dfrac{M(f)}{M_{c}(f)}\leq\dfrac{2^{n}}{v_{n}}, \quad \dfrac{2^{n}}{(v_{n}n^{n/2})}\leq\dfrac{\mathcal{M}(f)}{\mathcal{M}_{c}(f)}\leq\dfrac{2^{n}}{v_{n}}\qquad\text{a.e.},$$ donde $v_{n}$ denota el volumen de la bola unitaria en $\mathbb{R}^{n}$ .

Prueba. En lo que sigue, $r>0$ . Sustitución de $f$ por una traslación, basta con establecer la desigualdad en $x=0$ . Obsérvese que el cubo $[-r,r]^{n}$ está casi siempre contenida en la bola abierta $B(0,n^{1/2}r)$ . De donde,

$$\dfrac{1}{v_{n}n^{n/2}r^{n}}\int_{[-r,r]^{n}}\left|f\right|\leq\dfrac{1}{v_{n}n^{n/2}r^{n}}\int_{B(0,n^{1/2}r)}\left|f\right|=\dfrac{1}{\left|B(0,n^{1/2}r)\right|}\int_{B(0,n^{1/2}r)}\left|f\right|\leq Mf(0)$$

Multiplicando por $1=2^{n}/2^{n}$ y tomando el supremum sobre $r>0$ del LHS, obtenemos que

$$\dfrac{2^{n}}{v_{n}n^{n/2}}M_{c}f(0)\leq Mf(0)$$

Del mismo modo, observe que la bola abierta $B(0,r)$ está contenido en el cubo $[-r,r]^{n}$ . De donde,

$$\dfrac{1}{(2r)^{n}}\int_{B(0,r)}\left|f\right|\leq\dfrac{1}{(2r)^{n}}\int_{[-r,r]^{n}}\left|f\right|\leq M_{c}f(0)$$ Multiplicando por $1=v_{n}/v_{n}$ y tomando el supremum sobre $r>0$ del LHS, obtenemos que

$$\dfrac{v_{n}}{2^{n}}Mf(0)\leq M_{c}f(0)$$ Un argumento completamente análogo establece la desigualdad para las funciones maximales no centradas. $\Box$

Vale la pena mencionar que estas desigualdades muestran que $\mathcal{M}_{c},\mathcal{M}$ son operadores de tipo débil (1,1) y por tanto son operadores acotados $L^{p}(\mathbb{R}^{n})\rightarrow L^{p}(\mathbb{R}^{n})$ para $1<p\leq\infty$ .