Mapas de cociente y espacios compactos de Hausdroff

Question

El libro que estoy utilizando para mi curso de Introducción a la Topología es Principios de Topología de Fred H. Croom.

Demostrar que si $X$ y $Y$ son espacios de Hausdroff compactos y $f:X\rightarrow Y$ es una suryección continua, entonces $f$ es un mapa cociente.

Esto es lo que tengo entendido:

• Un espacio $X$ es compacto siempre que cada tapa abierta de $X$ tiene una subcubierta finita.
• A Espacio de Hausdorff es un espacio en el que puntos distintos tienen vecindades disjuntas.
• Desde $X$ y $Y$ son dos espacios topológicos y $f: X\rightarrow Y$ un mapa suryectivo. El mapa $f$ se dice que es un mapa de cociente proporcionó un subconjunto $U$ de $Y$ está abierto en $Y$ si y sólo si $f^{-1}(U)$ está abierto en $X$ . De forma equivalente, el subconjunto $U$ de $Y$ cerrado en $Y$ si y sólo si $f^{-1}(U)$ cerrado en $X$ .

De lo que nos da el enunciado del problema:

1. El mapa $f:X\rightarrow Y$ es suryente. Así, para cualquier $B\subset Y$ tenemos $f^{-1}(Y-B)=X-f^{-1}(B)$ .
2. El mapa $f: X\rightarrow Y$ es continua. En otras palabras, $U$ abrir en $Y\Rightarrow$ $f^{-1}(U)$ abrir en $X$ .
3. Todo lo que necesito mostrar es $U\subseteq Y$ , $f^{-1}(U)$ abrir en $X\Rightarrow U$ abrir en $Y$ .

Mi pregunta es, ¿cómo podría utilizar el hecho de que $X$ y $Y$ son espacios de Hausdroff compactos para demostrar el punto 3? Ahora bien, todo espacio compacto es localmente compacto, es decir, para cada $x\in X$ existe un conjunto abierto que contiene $x$ para lo cual $\overline{U}$ es compacto.

Probablemente me equivoque en muchas de las siguientes implicaciones, pero es un comienzo muy aproximado a lo que tenía en mente.

Dejemos que $A$ sea una vecindad de $a\in X$ que es disjunta de otras vecindades de puntos distintos de $a$ en $X$ . Ahora, $f(A)$ es una vecindad de algún $b$ en $Y$ . Entonces $\overline{f({A})}$ es un subconjunto compacto de $Y$ .

Concedido que esta última parte es probablemente un gran salto que no puedo asumir. Mi idea era mostrar de alguna manera que $f(A)\subset Y$ , $f^{-1}(f(A))$ abrir en $X\Rightarrow f(A)$ abrir en $Y$ . Es sólo una idea aproximada. Si estoy en algo con lo que acabo de decir, ¿cómo podría construir la prueba? ¿Alguna sugerencia?

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Perdón por la larga lectura. Si necesito aclarar algunas ideas y pensamientos que he presentado, hágamelo saber. Le agradezco sinceramente que se haya tomado el tiempo de leer esta pregunta. Aprecio enormemente cualquier ayuda que pueda proporcionar.

Answer 1

Obviamente, por continuidad de $f$ , si $V$ está cerrado en $Y$ entonces $f^{-1}(V)$ está cerrado en $X$ así que sólo tenemos que comprobar la otra dirección.

Desde $f$ es suryente tenemos que $f(f^{-1}(V))=V$ para cada conjunto $V$ . Supongamos ahora que $W=f^{-1}(V)$ está cerrado en $X$ . Entonces, como $X$ es compacto obtenemos $W$ compacto, y como $f$ es continua $f(W)=V$ es compacto y, por tanto, como $Y$ es Hausdorff, también cerrado.

Answer 2

Las hipótesis hacen que sea más conveniente utilizar la siguiente formulación alternativa de los mapas de cociente: $f: X \to Y$ es un mapa cociente si para cualquier $U \subset Y$ , $U$ es cerrado si y sólo si $f^{-1}(U)$ está cerrado. Esto es similar a la caracterización de los mapas continuos como aquellos mapas tales que la preimagen de un conjunto cerrado es cerrada.

¿Por qué cerrado en lugar de abierto? Observa los siguientes resultados:

1. Los subconjuntos cerrados de los espacios compactos son compactos.
2. Los subconjuntos compactos de los espacios de Hausdorff son cerrados.
3. La imagen de un conjunto compacto bajo un mapa continuo es siempre compacta.

Espero que esto ayude.