$|S_X|=|S_Y| \Leftrightarrow |X|=|Y|$

Question

La lectura de este problema me acordé tratando de resolver el siguiente problema. Para un conjunto $A$, denotan por $S_A=\{ f : A \to A | f \text{ is bijective }\}$. Denotar por $|X|$ el número cardinal de $|X|$.

Demostrar que para dos conjuntos de $X,Y$ tenemos $|X|=|Y| \Leftrightarrow |S_X|=|S_Y|$.

No he podido resolver el caso de que $X,Y$ son infinitas, y no sé ni cómo empezar. Traté de representar a $X$ como un subconjunto de a $Y$( si $|X|<|Y|$) y tal vez encontrar una permutación en $S_Y \setminus S_X$.

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que su afirmación es falsa: si $|X|=0$, $|Y|=1$, a continuación,$|S_X|=|S_Y|=1$. Si excluimos este caso, entonces la afirmación es verdadera para conjuntos finitos, y desde entonces se ha $|S_X|=|X|!$.

Si $X$ es infinito, entonces (suponiendo que la elección), $|S_X|=2^{|X|}$. Por lo que su demanda se convierte en una afirmación sobre el cardenal de exponenciación. La generalización de la hipótesis continua implica su demanda, mientras que la declaración "$2^{\aleph_0}=2^{\aleph_1}$" refuta. Ambas declaraciones son conocidos por ser independiente de ZFC (suponiendo que ZFC es consistente), por lo que su afirmación es también independiente de ZFC.