Una simple pregunta sobre la amplitud de dispersión $\mathcal{M}$ en QFT

Question

Todas las amplitudes de dispersión que veo tienen todos los índices del tensor contraídos pero los índices del espinor flotando, los cuales sólo desaparecen después de elevar al cuadrado la amplitud y hacer la suma y la media sobre los espines.

Mi pregunta está relacionada con mi desconocimiento de los espinores: ¿la amplitud $\mathcal{M}$ ¿es siempre un escalar? ¿Aunque no tenga los índices del espinor sumados?

Answer 1

Sí: la amplitud de dispersión es un escalar de Lorentz.

Los índices de Spinor no son flotantes. También se contraen. No se muestran explícitamente para despejar la notación. En general, todos los índices suprimidos se contraen. La convención estándar es que uno suprime tantos índices como sea posible mientras la expresión no sea ambigua. A veces sólo se muestran explícitamente los índices vectoriales, pero sobre todo por razones históricas. También se pueden suprimir.

En este sentido, una expresión de la forma $$\bar u\gamma v\ \bar v\gamma u$$ es una notación abreviada para $$\bar u\gamma^\mu v\ \bar v\gamma_\mu u$$ que a su vez es una notación abreviada para $$\bar u_a\gamma^\mu_{ab} v_b\ \bar v_c\gamma_{\mu cd} u_d$$ que a su vez es una notación abreviada para $$\sum_{abcd\mu}\bar u_a\gamma^\mu_{ab} v_b\ \bar v_c\gamma_{\mu cd} u_d$$ etc.

Debe quedar claro que se prefiere la primera expresión: lleva toda la información relevante, de la forma más concisa posible.

Si quieres jugar con los índices de espinores para ganar algo de confianza, consulta Srednicki, Parte II (Spin One Half). Lee todos los capítulos que puedas/necesites. Puedes encontrar una copia gratuita en su página web .

Answer 2

Todos los índices de Lorentz se suman, pero es más sutil de lo que se piensa. La amplitud para las partículas de helicidad/espín mayor que cero no es un escalar. La razón de esto es que las polarizaciones/espines externos se transforman bajo el pequeño grupo (transformaciones de Lorentz que dejan invariantes los momentos).

Por ejemplo, las amplitudes de dispersión de gluones en cuatro dimensiones se transforman bajo la $U(1)$ pequeño grupo de partículas sin masa como $$\mathcal{M} \rightarrow e^{-2i\theta \sum_i h_i}\mathcal{M}\,,$$ donde $h_i$ es la helicidad de cada partícula. Para más detalles, véase el capítulo 2.5 de la QFT I de Weinberg, o la sección 2.6 de esta revisión para una perspectiva más moderna.