¿De qué manera la curva de Peano no es uno a uno con $[0,1]^2$?

Question

En la discusión acerca de la cuestión Es que hay una manera de representar el interior de un círculo con una curva?, se mencionó que dicha curva no puede ser uno-a-uno (porque $[0,1]$ no es homeomórficos a $[0,1]^2$). Estoy curioso sobre el modo en el que la curva de Peano no es uno-a-uno.

La construcción de la curva de Peano es una relación de recurrencia para el refinamiento de un camino particular que discretamente se ve uno-a-uno, en lo que toca a cada punto de coordenadas a una escala determinada en un bijection. En el límite no hay bijection, pero a cada paso hay un bijection entre la curva hasta la fecha y las coordenadas de los puntos dentro de $[0,1]^2$ trunca a tantos dígitos binarios.

En un surjection que no es una inyección, debe haber cierta superposición (algunos $x,y$ donde $x\neq y$ pero $f(x)=f(y)$. Lo que estoy diciendo es que...¿dónde está la superposición? Supongo que no es solo en un punto - que es en todos los puntos? cuánto se superponen? ¿Cuál es la naturaleza de la superposición (para un punto dado en $[0,1]^2$, lo cual pone en $[0,1]$ mapa?

(para la discusión de la causa, el uso de la definición de Hilbert-curva de Peano)

Edit: Un poco de aclaración: dado un punto de $(j,k)$, es su superposición, y si es así, ¿cuánto (¿cuál es la cardinalidad de la inversa de la imagen en ese punto)? Cómo se trata sólo de un punto en particular como $(1/2, 1/2)$?

Answer 1

Los puntos de coincidencia son precisamente aquellas donde al menos una de coordenadas es un diádica racional $n/2^N$ para algunos enteros $n,N$, con excepción de algunos puntos en el límite de la plaza de la $[0,1]^2$. Si usted se centra en el punto medio $(1/2,1/2)$ de la plaza en la animación de la página de Wikipedia, se puede observar que es abordado desde tres direcciones diferentes. (En realidad, $H(1/6)=H(1/2)=H(5/6)=(1/2,1/2)$ donde $H:[0,1]\to[0,1]^2$ es la curva de Hilbert.) Lo mismo va para los puntos de $(1/4,1/4), (3/4,1/4), (3/4,1/4), (3/4, 3/4),$ y así sucesivamente.

No es auto-intersección en todos los puntos: el punto de $(0,0)$, por ejemplo, es sólo golpear una vez.

Añadido después de los comentarios: He aquí cómo ver exactamente qué puntos son los puntos de auto-intersección.

Subdividir $[0,1]^2$ en una cuadrícula de $2^n\times2^n$ plazas. El $n$th iteración de la discreta curva de Hilbert pasa a través de cada uno de estos cuadrados de una vez. El número de las plazas de $1$ $(2^n)^2$en el orden en que se pasan a través de ellos, y deje $H_n(k/(2^n)^2)$ ser el centro de la $k$th plaza, y extender $H_n$ para todo el intervalo de $[0,1]$ por lo que es un modelo lineal por tramos entre los puntos de $k/(2^n)^2$. La curva de Hilbert $H:[0,1]\to[0,1]^2$ está definido por $H(x)=\lim_{n\to\infty}H_n(x)$.

Ahora supongamos que $H(x)=H(y)$ donde $x\neq y$, por lo que el punto de $H(x)\in[0,1]^2$ es un punto donde la curva de la auto-cruza. Subdividir $[0,1]^2$ en una cuadrícula de $2^n\times 2^n$ plazas, donde $n$ es lo suficientemente grande como para que el intervalo de $(x-\epsilon,x+\epsilon)$ mapas en una plaza, mientras que $(y-\epsilon,y+\epsilon)$ mapas en otra plaza, para algunos pequeños $\epsilon>0$. (Este debe ser siempre posible por la construcción de la curva de Hilbert.) Desde $H(x)$ $H(y)$ pertenecen a diferentes plazas, pero son iguales, se deben cumplir a lo largo de la frontera de las plazas, y esto sólo puede suceder si una coordenada es un diádica racional.

En la otra dirección, arreglar cualquier punto de $(x,y)$ donde una coordenada es un diádica racional. Este es un punto en la frontera entre dos plazas en algunos $2^n\times 2^n$-subdivisión de $[0,1]^2$. Por la construcción de la curva de Hilbert, existe un intervalo cerrado cuya imagen es la primera plaza, y otro intervalo cerrado cuya imagen es la segunda plaza. Si $(x,y)$ es un punto interior, por la forma de la curva de Hilbert serpientes alrededor, siempre podemos asegurarnos de que esos dos intervalos disjuntos. Desde ambos intervalos mapa surjectively en la frontera entre nuestros dos plazas, existe un punto de $x$ en el primer intervalo y un punto de $y$ en el otro intervalo, por ejemplo que $H(x)=H(y)$.

Answer 2

Puede ver algunos de los lugares específicos donde la curva no es 1-1 de la siguiente manera. Las diversas etapas de la construcción son controlados por una rejilla, y como la curva, se rellena, se acerca a los bordes y esquinas) de la red de cada lado. Así, en el límite, puntos en los cuadrados que se encuentran en el borde de la cuadrícula en alguna etapa de la construcción será en la imagen de al menos dos puntos de la peano arco. El interior de las esquinas se encuentran en al menos 4 puntos. Así que por lo menos muestra que no es 1-1.

Answer 3

Esto es en realidad elaborado en el artículo de wiki en el Espacio de llenado de las curvas.

El corto de él es que la curva de Peano es continua, $[0,1]$ es compacto y $[0, 1]^2$ es Hausdorff, por lo que si fuera inyectiva sería un homeomorphism (ya sabemos su surjective).

La falta de bits es que es en todas partes el auto-intersección, pero me parece que puede ser demostrado a través de restringir arbitrariamente el dominio es continua, después de todo, así que hay esperanza.