Milnor ' definición de s de paquete mapa en "Clases de característica"

Question

En el capítulo 3 de "Clases de la característica", Milnor define paquete mapas, exigiéndoles mapa fibras isomorphically sobre las fibras. ¿Por qué no simplemente requieren homorphisms en fibras? (por ejemplo, para la definición dada, el mapa de la inclusión de un subbundle no califica como un mapa del paquete). ¿Es una cuestión de conveniencia, o hay algo más sucediendo?

¡Gracias!

Answer 1

Uno puede definir la característica de clases en un contexto más general. Para cualquier grupo topológico $G$, universal, directora $G$-paquete (a partir de ahora sólo $G$-bundle) $EG \to BG$. $BG$ se llama la clasificación de espacio de $G$, debido a que clases de isomorfismo de principio a $G$-paquetes de más de $X$ corresponden bijectively a homotopy clases de mapas de $f: X \to BG$, la correspondencia de tomar un representante del mapa, y la definición de la retirada de paquete de $f^*(EG \to BG)$ $G$- bundle en $X$. (Esto resulta que sólo dependen de la homotopy clase de $f$.)

Ahora, elija una $\alpha \in H^*(BG;A)$ para un anillo conmutativo $A$. Definimos el "$\alpha$-características de la clase" (esta no es la terminología estándar - acabo de hacer) por $G$-bundle $E \to X$ a ser la clase de $f^*\alpha \in H^*(X;A)$ donde $f: X \to BG$ es la definición de mapa de nuestra $G$-bundle. Entonces si $g: Y \to X$ es un mapa continuo, el $\alpha$-características de la clase de la retirada de paquete de $g^*(E \to X)$ es, precisamente,$g^*(f^*(\alpha))$. Usted puede notar que esta es la forma en que Milnor característico de las clases de transformar...

De hecho, para cualquier real $n$-dimensiones del vector paquete, hay un canónicamente asignados $O(n)$-bundle (y esta correspondencia es de nuevo bijective en clases de isomorfismo). Uno puede calcular (de hecho, Milnor-Stasheff hacer) que $H^*(BO(n),\Bbb Z/2\Bbb Z) \cong \Bbb Z_2[w_1, w_2, \dots, w_n]$, un polinomio de álgebra con $|w_i| = i$. Para cualquier real, $n$-dimensiones del vector paquete de $E \to X$, vamos a $f$ ser la representación de mapa de $X \to BO(n)$; a continuación,$w_i(E) = f^*(w_i)$. Uno puede hacer algo que otros análogos de vector complejo haces ($\cong$ $U(n)$-haces); esto da clases de Chern.

Ahora, lo que Milnor y Stasheff llamar a un paquete de mapa de $E \to E'$ donde $E \to X$ es un vector paquete y así es $E' \to Y$, es precisamente el mismo que el de un mapa de $f: X \to Y$ tal que $f^*(E') = E$. Así que la discusión anterior pone en claro que esto es como característica de las clases de transformar: en virtud de la retirada de los mapas, porque eso es precisamente cómo obtenemos un mapa de $H^*(Y;A) \to H^*(X;A)$ en cohomology!

De hecho, si se trató de definir la forma característica de las clases de transformar por algunos '$f^*$' bajo la especie de paquete de mapa, no tenemos la fórmula $f^*(w_i(E')) = w_i(E)$; para tomar $E$ a ser el trivial 0-dimensional paquete de más de 1 punto del espacio, y $E'$ a ser, literalmente, cualquier vector paquete; la fórmula diría que $w_i(E') = 0$ todos los $E'$. Si intenta debilitar su hipótesis un poco (tal vez sólo homomorphisms entre el $n$-dimensiones del vector haces?) usted consigue el mismo problema.