Por qué es el factor determinante de la siguiente matriz cero

Question

Que $a_1,\ldots,a_n$ ser números complejos y números complejos que $b_1,\ldots,b_n$.

Que $A$ sea la matriz cuya entrada de $(i,j)$-th es $A_{ij} = a_i b_j$. Entonces pienso que $\det A = 0$ cuando $n>1$. Esto es fácil de calcular cuando $n=2$.

Pregunta. ¿Por qué es $\det A =0$?

Answer 1

Algebraicamente (mencionado por t.b.): Las columnas de la matriz son $b_1\mathbf{a}$, $b_2\mathbf{a}$, $\dots, b_n\mathbf{a}$. Si todos los de $\mathbf{b}$'s componentes son cero, el resultado es trivial, mientras que si al menos uno de los componentes es distinto de cero, decir $b_1$ sin pérdida de generalidad, entonces (para $n>1$)

$$\color{Blue}{-(b_2+b_3+\cdots+b_n)}(b_1\mathbf{a})+\color{Blue}{b_1}(b_2\mathbf{a})+\color{Blue}{b_1}(b_3\mathbf{a})+\cdots+\color{Blue}{b_1}(b_n\mathbf{a})$$ $$=\big((\color{Blue}{-b_2}b_1+\color{Blue}{b_1}b_2)+(\color{Blue}{-b_3}b_1+\color{Blue}{b_1}b_3)\cdots+(\color{Blue}{-b_n}b_1+\color{Blue}{b_1}b_n)\big)\mathbf{a}$$ $$=(0+0+\cdots+0)\mathbf{a}=\mathbf{0}.$$ es un trivial combinación lineal de las columnas de la matriz que evalúa a cero, por lo tanto las columnas son linealmente dependientes y por lo tanto la matriz del determinante es cero.

Acceso directo (a través de David): Utilizar el multlinearity de la determinante para reducir $$\det\begin{pmatrix}b_1\mathbf{a}&b_2\mathbf{a}&\cdots&b_n\mathbf{a}\end{pmatrix}=b_1b_2\cdots b_n \det\begin{pmatrix}\mathbf{a}&\mathbf{a}&\cdots&\mathbf{a}\end{pmatrix}.$$ For $n>1$, it is impossible for $n$ copies of a vector $\mathbf{a}$ to be linearly independent, since e.g. $$1\mathbf{a}+(-1)\mathbf{a}+0\mathbf{a}+\cdots+0\mathbf{a}=\mathbf{0}.$$ por lo tanto la original determinante también debe ser cero.

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Geométricamente: El paralelepípedo formado por las columnas de la matriz son todos los que figuran en el uno-dimensional en el subespacio generado por $\mathbf{a}$: $n>1$ este tiene cero $n$-dimensiones de contenido (hyper-volumen), por lo tanto el determinante es cero.

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Geométricamente/Algebraicamente: Como he publicado en una respuesta diferente (parafraseado aquí),

Estamos asumiendo $\mathbf{a},\mathbf{b}\ne\mathbf{0}$. A continuación,$\mathbf{b}^\perp$, el complemento ortogonal del subespacio lineal generado por $\mathbf{b}$ (es decir, el conjunto de todos los vectores ortogonales a $\mathbf{b}$) es, por tanto, $(n-1)$- dimensional. Deje $\mathbf{c}_1,\dots,\mathbf{c}_{n-1}$ ser una base para este espacio. Entonces ellos son linealmente independientes, y $$(\mathbf{a}\mathbf{b}^T)\mathbf{c}_i =\mathbf{a}(\mathbf{b}^T\mathbf{c}_i)= (\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}_i)\mathbf{a}=\mathbf{0}.$$ Thus the eigenvalue $0$ has geometric multiplicity $n-1\qquad$ [...]

El determinante es el producto de la matriz de autovalores, por lo que si uno de esos es $0$ el producto es necesariamente cero así.

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Analíticamente/Combinatoria: a Través de la fórmula de Leibniz tenemos $$\det(\mathbf{a}\mathbf{b}^T)=\sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{\sigma}\prod_{k=1}^na_{\sigma(k)}b_k$$ $$=\left(\sum_{\sigma\in S_n}(-1)^\sigma\right)\prod_{k=1}^na_kb_k=0.$$ Anterior, podemos observar que el $\sum (-1)^{\sigma}$ es cero porque las permutaciones de par e impar paridad en bijection el uno con el otro (por ejemplo, tomar una transposición arbitraria $\tau$ y definir el mapa de $\sigma\to\tau\sigma$).