Deje $\{l_i:i\in I\}$ ser una familia de rectas paralelas en el plano de la $\mathbb{R}^2$. Supongamos que para cada una de las $i\in I$ hay un segmento cerrado $s_i\subset l_i$. Por otra parte, para cada uno de los triples $i_1,i_2,i_3$ existe una línea de $l$ de intersección de cada una de las $s_{i_1},s_{i_2},s_{i_3}$. Me gustaría demostrar que existe una línea de intersección de todos los segmentos de $s_i$! Me gustaría añadir que $I$ puede ser infinito.
Parece ser bastante complicado, incluso en el caso de $4$ líneas! Por otra parte, la declaración es incorrecta si queremos reemplazar los segmentos de abrir intervalos de tiempo: no hay una línea de intersección de cada intervalo de la familia $\{(0,\frac{1}{n})\times \{n\}: n\in \mathbb{N}\}$, pero cada triple de curso puede ser atravesado por algunos de la línea vertical.
Puede alguien por favor sugerir algo?
Yo estaba tratando de demostrar que algunos simple finito de casos, pero no pudo. Creo que es importante para el abandono de la especificidad de la finitud: el conjunto de puntos de los segmentos, incluso puede ser denso!
Respuestas
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Thomas Kalinowski ha hecho el trabajo duro a demostrar el resultado para un finito $I$. Para completar el argumento, vamos a $\mathscr{F}=\{X_i:i\in I\}$ donde $I$ es arbitrario y $X_i$ es como en su respuesta. Cada una de las $X_i$ es un cerrado de tiras de anchura constante y la pendiente $-x_i$. Revisión distintas $i,j\in I$. A continuación,$x_i\ne x_j$, lo $X_i\cap X_j$ es un cerrado romboidal $R$. Vamos $\mathscr{K}=\{X_k\cap R:k\in I\}$; $\mathscr{K}$ es entonces una centrada en la familia de conjuntos compactos en $\Bbb R^2$, por lo que su intersección es no vacía, y cualquier punto de $\langle a,b\rangle\in\bigcap\mathscr{K}$ corresponde a una línea de intersección de todos los segmentos.
Para finitos $I$ esto es una consecuencia del Teorema de Helly.
Sin pérdida de generalidad de sus líneas dadas son paralelas a la $y$-eje, es decir, se tienen las ecuaciones de $x=x_i$$i\in I$. Los segmentos tienen la forma $$s_i=\{(x_i,y)\ :\ y_i'\leqslant y\leqslant y_i''\}$$ El conjunto de líneas de $y=ax+b$ de intersección segmento de $s_i$ es parametrizada por el conjunto de $$X_i=\{(a,b)\in\mathbb{R}^2\ :\ y_i'\leqslant ax_i+b\leqslant y_i''\}.$$ Por supuesto, la intersección de tres de los conjuntos no vacíos, $$X_i\cap X_j\cap X_k\neq\emptyset\qquad\text{for all }i,j,k\in I.$$ Por lo tanto, del teorema de Helly, la intersección de todos los conjuntos de $X_i$ es no vacío, $$\bigcap_{i\in I}X_i\neq\emptyset.$$ Cualquier punto de $(a,b)$ en esta intersección corresponde a una línea de intersección de todos los segmentos.
