Mostrar que un espacio normado no es separable

Question

Pregunta:

Deje $B[0,1]$ ser la normativa espacio delimitado real de las funciones con valores en $[0,1]$ con la norma $\|f\| =\sup\left\{\left|f(x)\right| : x\in [0,1]\right\}$. Es este espacio métrico separable?

Mi problema es que no tengo la intuición acerca de este espacio métrico. Tengo una solución para el problema que utiliza la "ecuación característica", pero no saben cómo iba a venir con esta solución. Cualquier visión así como las diferentes soluciones que se agradece.

La ecuación característica es $\mathcal{X}_x(s) = 1$ si $s=x$ , $0$ de lo contrario,

Lo siento, no estoy seguro de cómo hacer una función definida a tramos.

Answer 1

La familia ${\chi_{[0,a]}\colon 0<a cada="" contable="" de="" discreto="" es="" espacio="" forma="" incontable="" inseparable.="" lo="" m="" por="" separable="" subconjunto="" subgrupo="" un=""></a>

Answer 2

Para cada $i \in [0,1]$ definir $f_i:[0,1] \longrightarrow \mathbb{R}$ tal que $f_i(x)=1$ si $x=i$ $f_i(x)=0$ si $x \neq i$

Deje $A=\{f_i| i \in [0,1]\} \subseteq B[0,1]$ el conjunto de estas funciones,que claramente es incontable.

Tenemos que $||f_i-f_j||=sup_{x \in [0,1]}|f_i(x)-f_j(x)| = 1,\forall i \neq j$ $[0,1]$

Si usted toma la colección de abiertos disjuntos bolas $S=\{B(f_i,\frac{1}{3})| i \in [0,1]\}$, entonces no existe una contables subconjunto denso en $B[0,1]$

Si existiera una contables subconjunto denso $M \subseteq B[0,1]$, luego de la definición de densidad tendríamos que $M \cap B(f_i,\frac{1}{3}) \neq \emptyset, \forall i \in [0,1]$

$M=\{g_1,g_2.....\}$

Para cada $i \in [0,1]$ escoger un elemento $g_i \in M$ donde $g_i \in B(f_i,\frac{1}{3})$

Usted puede encontrar tal elemento, porque se supone que $M$ es densa.

Luego tomar la función de $\Phi: [0,1] \longrightarrow M$ tal que $\Phi(i)=g_i$

Esta función es $1-1$ debido a la disjointness del abierto de bolas.

Hemos demostrado que la $cardinality([0,1]) \leqslant cardinality (M)$ $[0,1]$ es contable, la cual es una contradicción.

Answer 3

Cada $p \in [0,1]$ que $f_p$ sea la función en $[0,1]$ que $f_p(p) = 1$ y $f_p(x) = 0$ $x \neq p$. $p \neq q$, Tenemos $d(f_p, f_q) = ||f_p - f_q|| = 1$. Así que si $D$ es un denso conjunto de funciones, podemos escoger para cada $p$, un $d_p$ tal que $||f_p - d_p||

Ahora, si $p \neq q$: $d_p \neq d_q$ otra manera if $d_p = d_q$:

$$||f_p - f_q|| \le ||f_p - d_p|| + ||d_p-d_q|| + ||d_q - f_q||