Hace ya un tiempo he estado en la escuela y no trabajo en un campo que practica este tipo de cosas así que no sé la fórmula mi cerebro no puede envolver mi cabeza alrededor del problema.
El problema:
Empezar con puntos de $0$. Después de $1$ día ganarás puntos de $100$. Al día siguiente obtienes puntos de $110$ y $120$ y así sucesivamente.
Si no me equivoco, hay una fórmula para obtener cuántos días hasta llegar a $x$ puntos.
Nota al margen: no pudo encontrar las etiquetas a utilizar.
El número de puntos que usted consigue después de $n$ días es $a_n = 90 + n\cdot 10$. Hay una forma sencilla de calcular la cantidad de puntos después de $n$ días:
$$\sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n (90 + 10i) = \sum_{i=1}^n 90 + 10 \sum_{i=1}^n i = 90 n + 10 \sum_{i=1}^n i$$
Ahora, todo lo que usted necesita saber es que la suma de los primeros a $n$ números enteros es $$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$$ y ya está listo:
$$\sum_{i=1}^n a_i = 90 n + 10\cdot \frac{n(n+1)}{2} = 5n^2 + 95 n.$$
Ahora, si quieres saber cuántos días se tarda para llegar al menos a $x$ puntos que son solución de una ecuación $$5n^2 + 95 n = x$$ for $$ n. La solución a esto es la raíz del polinomio
$$5n^2 +95 n - x$$ which is $$\frac{-95 \pm \sqrt{95^2 + 20x}}{10}$$ Esto le da dos soluciones, de los cuales uno es negativo y uno positivo. Usted sólo está interesado en el positivo, así que tome la solución de $$\alpha = \frac{-95 + \sqrt{95^2 + 20x}}{10}.$$
Por supuesto, para la mayoría de $x$, $\alpha$ no será un número entero, pero ya que usted sabe que el valor de $p(n) = 5n^2 + 95n$ es estrictamente creciente y usted sabe que $p(\alpha) = x$, usted sabe que, si $\alpha$ no es un intger, que $p(\lfloor\alpha\rfloor)<x<p(\lceil\alpha\rceil)$, por lo que necesita $\lceil\alpha\rceil$ días para tener más de $x$ puntos, y usted tendrá menos de $x$ el día antes.
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