Convergencia en la distribución (convergencia débil)

Question

Dejemos que $X_n$ y $X$ sean variables aleatorias que toman valores en el espacio métrico $(S,d)$ .

La secuencia $(X_n)_n$ es convergente a $X$ en la distribución (o débilmente) si

$E[f(X_n)] \to E[f(X)]$ para todos $f:S\to R$ continua y acotada.

He leído en alguna parte que es equivalente a considerar sólo uniformemente continua y delimitado $f$ .

¿Podría darme una prueba de este hecho?

Answer 1

Denotamos $\Bbb P_n$ y $\Bbb P$ las medidas asociadas a $X_n$ y $X$ respectivamente.

Supongamos que $E[f(X_n)]\to E[f(X)]$ para todos $f$ uniformemente continua y acotada. Fijar $F$ un conjunto cerrado y que $O_n:=\{x\in S,d(x,F)<n^{-1}\}$ . Entonces el mapa $f_n\colon x\mapsto \frac{d(x,O_n^c)}{d(x,O_n^c)+d(x,F)}$ es uniformemente continua y acotada.

Reclamación: $\limsup_{n\to +\infty}\Bbb P_n(F)\leqslant \Bbb P(F)$ .

Sí, es cierto, $f_n(x)=1-\frac{d(x,F)}{d(x,O_n^c)+d(x,F)}$ es monótona, limitada por $1$ y converge puntualmente a la función característica de $F$ . Tenemos para cada $n$ y $N$ , $$\Bbb P_n(F)\leqslant \int f_N(x)d\Bbb P_n,$$ así que para todos $N$ , $$\limsup_{n\to +\infty}\Bbb P_n(F)\leqslant \int f_N(x)dP,$$ y concluimos por convergencia monótona.

Ahora, arregla $f$ una función continua tal que $0\leqslant f\leqslant 1$ . Dejemos que $F_{n,j}:=\{x\in S,f(x)\geqslant \frac jn\}$ .

\begin {align*} \int_S fd \Bbb P_N- \int_S fd \Bbb P & \leqslant \sum_ {k=0}^n \frac kn \left ( \Bbb P_N \left ( \frac kn \leqslant f(x)< \frac {k+1}n \right )- \Bbb P \left ( \frac kn \leqslant f(x)< \frac {k+1}n \right ) \right )+ \frac 1n \\\ &= \sum_ {j=0}^n \frac jn \Bbb P_N(F_{n,j})- \sum_ {j=1}^{n+1} \frac {j-1}n \Bbb P_N(F_{n,j}) - \sum_ {j=0}^n \frac jn \Bbb P(F_{n,j}) \\ &+ \sum_ {j=1}^{n-1} \frac {j-1}n \Bbb P(F_{n,j})+ \frac 1n \\ &= \frac 1n \sum_ {j=1}^n \left ( \Bbb P_N(F_{n,j})- \Bbb P(F_{n,j}) \right )+ \frac 1n. \end {align*} Tomando $\limsup_{N\to +\infty}$ y haciendo lo mismo para $1-f$ en lugar de $f$ obtenemos el resultado deseado.

Es una parte del teorema del portmanteau.

Una buena referencia para las preguntas sobre la convergencia débil es el libro de Billingsley Convergencia o medidas de probabilidad .