Rastro de un producto de la matriz

Question

Para una matriz arbitraria $A$ y un % de la matriz dada $B$, es posible generar una matriz $C$ tal que

$\text{Trace}(ABC) = \text{Trace}(AB)$

¿salvo el caso trivial de identidad?

¿Si no es en el caso general, es posible si $B$ es simétrica? Las entradas de las matrices son reales. Algunos consejos son apreciados

Answer 1

1) Si queremos que el mismo $C$ todos los $A$:

1.a) Si $B$ es singular ($\det(B)=0$) entonces existe una matriz $V$ tal que $BV=0$ ($B$ ha $0$ como valor propio; pick $V=(v\ v \ \ldots \ v)$ $v$ un autovector de a $0$). A continuación, con $C:=I+V$ hemos $$\text{trace}(AB(I+V))=\text{trace}(ABI)+\text{trace}(ABV)=\text{trace}(AB).$$

1.b) Si $B$ es regular, es imposible. Considere la posibilidad de $A:=XB^{-1}$ $X$ cualquier matriz. Entonces $$\text{trace}(XC)=\text{trace}(ABC)=\text{trace}(AB)=\text{trace}(X),$$ por lo $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_{ij}c_{ji} - \sum_{i=1}^n x_{ii}=0$ por cada matriz $X$, lo que implica $C=I$ considerando la primaria matrices $X=E_{ij}$.

2) Si permitimos $C$ a depender de $A$:

Si la diagonal de $AB$ no está lleno de ceros, entonces siempre podemos elegir una diagonal $D\neq I$ tal que traza$(ABD)=$seguimiento$(AB)$. Por ejemplo, si $AB_{n,n}\neq 0$ pick $D=$diag$(0,\ldots,0,$seguimiento$(AB))$. De lo contrario, escoja $P$ invertible tal que $PABP^{-1}$ tiene algún valor distinto de cero diagonal elemento y elija $D$ para esta matriz. Luego, con $C:=P^{-1}DP$, $$\text{trace}(ABP^{-1}DP)=\text{trace}(PABP^{-1}D)=\text{trace}(PABP^{-1})=\text{trace}(AB).$$