Propiedades del Múltiple de Nehari: Demostrar que el colector de Nehari está acotado lejos de cero.

Question

Dejemos que $E$ sea un espacio de Banach real y $I\in\mathcal{C}^1(E;\mathbb{R})$ un funcional. Definir el colector de Nehari \begin{align} \mathcal{N}=\{u\in E\backslash\{0\}:I'(u)u=0\}, \end{align} donde la derivada de Frechet de $I$ en $u$ , $I'(u)$ es un elemento del espacio dual $E^*$ y denotamos $I'(u)$ evaluado en $v\in E$ por $I'(u)v$ . Supongamos que $u\neq 0 $ es un punto crítico de $I$ es decir, $I'(u)=0$ . Entonces $u\in\mathcal{N}$ . Establecer $S=S_1(0)=\{u\in E:||u||=1\}$ y asumir $I(0)=0$ . Supongamos que se cumplen las dos condiciones siguientes:

1. Para todos $u\in E\backslash \{0\}$ hay un $t_u$ de manera que si $\phi_u(t)=I(tu)$ entonces $\phi'_u(t)>0$ para todos $0<t<t_u$ y $\phi'_u(t)<0$ para todos $t>t_u$ ,
2. Existe un $\delta>0$ independientemente de $u$ , de tal manera que $t_u\geq\delta$ para todos $u\in E$ .

El colector de Nehari tiene algunas propiedades útiles, como se indica en las referencias proporcionadas aquí: Pregunta sobre el colector Nehari . En particular, me interesa justificar que 1 y 2 implica que $\mathcal{N}$ está acotado fuera de $0$ es decir, para cada $u\in\mathcal{N}$ hay un $\rho>0$ independientemente de $u$ , de tal manera que $||u||\geq\rho$ . No estoy seguro de cómo enfocar el problema.

Answer 1

A partir de 1., existe para cada $v\in S$ , un número $s(v)>0$ de tal manera que $s(v)v\in\mathcal{N}$ (sólo hay que resolver la ecuación $\phi'_v(t)=0$ para $t>0$ ).

También de 1., $s(v)$ es único y por lo tanto la aplicación que envía $v\in S$ a $s(v)v\in\mathcal{N}$ es una biyección (de hecho, si $\phi''_v(s(v))<0$ será un difeomorfismo, mientras que $\mathcal{N}$ es un $C^1$ colector de Banach) con $$||s(v)v||=s(v)||v||=s(v).$$

Por lo tanto, $\mathcal{N}=\{s(v)v:\ v\in S\}$ y para cada $u\in \mathcal{N}$ tenemos que (usando 2.) $$||u||=||s(v)v||=s(v)=t_v\ge \delta,$$

où $v=u/||u||$ .