El teorema de estado:
Si $u \in C^2(U)$ satisface
$$ u(x) = \frac{1}{|\partial B(x,r)|}\int_{\partial B(x,r)} u(y) dS(y)$$
para cada bola de $B(x,r) \in U$, entonces u es armónica.
El problema que tengo es con la prueba del teorema. Él afirma demostrar por contradicción, supongamos que $\Delta u > 0$. A continuación, para
$$\phi(r) = \frac{1}{|\partial B(x,r)|}\int_{\partial B(x,r)} u(y) dS(y)$$
$$ 0 = \phi ' (r) = \frac{r}{n}\frac{1}{|B(x,r)|} \int_{B(x,r)} \Delta u(y) dy >0$$
una contradicción.
Mi problema es que estoy bastante seguro de que mostramos $\phi ' (r) = 0$ en la dirección opuesta mediante el hecho de que $u$ es armónico en el primer lugar, así que no veo cómo podemos utilizar el hecho de que aquí, especialmente cuando estamos suponiendo que el contrario. Me siento como que hay algo muy astuto pasando aquí. Puede alguien explicar la prueba?
