¿Cómo se resuelve esta ecuación diferencial utilizando la variación de los parámetros?

Question

$\color{green}{question}$ :

¿Cómo se resuelve esta ecuación diferencial utilizando la variación de los parámetros?

$$y"-\frac{2x}{x^2+1}y'+\frac{2}{x^2+1}y=6(x^2+1)$$

$\color{green}{I~tried}$ . . .

$using~the~\color{blue}{Laplace~transform}~method$ . . .

$$L[\int_{0}^{\infty }\frac{sinxt}{1+t^{2}}dt]$$

$$=\int_{0}^{\infty }e^{-sx}(\int_{0}^{\infty }\frac{sinxt}{1+t^{2}}dt)$$

$$=\int_{0}^{\infty }\frac{1}{1+t^{2}}(\int_{0}^{\infty }e^{-px}sinxtdx)dt\\\\\\=\int_{0}^{\infty }\frac{1}{1+t^{2}}\frac{t}{s^{2}+t^{2}}dt$$

$$=\int_{0 }^{\infty }\frac{1}{s^{2}-1}(\frac{t}{1+t^{2}}-\frac{t}{s^{2}+t^{2}})$$

$$=\frac{Lns}{s^{2}-1}$$

¿Es correcta mi solución?

¿Debo utilizar la inversa de Laplace?

¿Cómo puedo obtener una respuesta completa y correcta?

Gracias por cualquier pista.

Answer 1

Le indicaré los pasos a seguir y le pediré que complete los detalles.

Se nos pide que lo resolvamos utilizando la Variación de Parámetros (VoP), dada:

$$\tag 1 y''-\dfrac{2x}{x^2+1}y'+\dfrac{2}{x^2+1}y=6(x^2+1)$$

Paso 1

Encuentre la solución homogénea de $(1)$ por lo que tenemos:

$$\tag 2 y''-\dfrac{2x}{x^2+1}y'+\dfrac{2}{x^2+1}y=0$$

Esto produce:

$$y_h = c_1(x^2-1) + c_2 x$$

Paso 2

Ahora vamos a hacer uso de la VoP, por lo que establecemos: $y_1 = x^2-1$ y $y_2 = x$ de $y_h$ y $f = 6(x^2+1)$ de $(1)$ .

Calculamos el Wronskian de $y_1$ y $y_2$ , dando como resultado $W(x^2-1, x) = -x^2-1$ .

Usando el VoP, tenemos:

$$u_1 = \int \dfrac{-y_2 f}{W(x^2-1, x)} dx = \int \dfrac{-x 6(x^2+1)}{-x^2-1} dx = 3x^2$$

$$u_2 = \int \dfrac{y_1 f}{W(x^2-1, x)} dx = \int \dfrac{(x^2-1)6(x^2+1)}{-x^2-1} dx = 6x-2x^3$$

Ahora, $y_p$ está dada por:

$$y_p = y_1 u_1 + y_2 u_2 = (x^2-1)(3x^2) + (-2x^3+6x)(x) = x^4 + 3x^2$$

Paso 3

Nuestra solución final viene dada por:

$$y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c_1(x^2-1) + c_2 x + x^4 + 3x^2$$