Densidad del conjunto de los números de la forma $x^2+2y^2$

Question

¿Existe un número natural $k$ tales que para todos los intervalos (de números positivos) de longitud $k$, hay al menos un elemento de la forma $x^2+2y^2,$ donde $x$ y $y$ son números enteros?

Answer 1

Que $p$ ser un primo congruente a $5$ o $7$ modulo $8$. A continuación, $p$ sólo puede dividir $x^2+2y^2$ si $p\mid x$ y $p\mid y$, que entonces $p^2\mid(x^2+2y^2)$. Por lo tanto si $m\equiv p\pmod{p^2}$ $m$ no puede ser de la forma $x^2+2y^2$.

Que $p_1,\ldots,p_k$ ser #% de %#% distintos primos de esta forma (hay infinitamente muchos de Dirichlet). Por el Teorema chino del resto hay algunos $k$ $z\in\Bbb N$ % todos $z\equiv p_j-j\pmod{p_j^2}$. Entonces $j$ no puede ser un $z+j$. Entonces nada de $x^2+ny^2$ es un $z+1,\ldots,z+k$.