Demostrar que $ \left\lfloor{\frac xn}\right\rfloor= \left\lfloor{\lfloor{x}\rfloor\over n}\right\rfloor$ donde $n \ge 1, n \in \mathbb{N}$

Question

Demostrar que $ \left\lfloor{\frac xn}\right\rfloor= \left\lfloor{\lfloor{x}\rfloor\over n}\right\rfloor$ donde $n \ge 1, n \in \mathbb{N}$ y $\lfloor{.}\rfloor$ representa Mayor número entero $\mathbf{\le x}$ o función del suelo

Intenté demostrarlo escribiendo $x = \lfloor{x}\rfloor + \{x\} $ donde $ \{.\}$ representa Función de la parte fraccionaria y $ 0 \le \{x\} < 1$ Así que tenemos,

$ \lfloor{\frac xn}\rfloor= \lfloor{{\lfloor x\rfloor\over n}+ {\{x\}\over n}}\rfloor \tag{1}$

Entonces intenté utilizar la propiedad,

$\lfloor{x+y}\rfloor =\begin{cases} \lfloor x\rfloor + \lfloor y\rfloor& \text{if $0\le \{x\} + \{y\}$} < 1 \tag{2}\\ 1+ \lfloor x\rfloor + \lfloor y\rfloor & \text{if $1\le \{x\} + \{y\}$} < 2 \\ \end{cases} $

Así que si puedo probar $(1)$ = primer caso de $(2) $ Voy a tener ,

$ \lfloor{\frac xn}\rfloor= \lfloor{{\lfloor x\rfloor\over n}}\rfloor+ \lfloor{\{x\}\over n}\rfloor = \lfloor{\lfloor{x}\rfloor\over n}\rfloor$ ya que el segundo término será cero. Sin embargo, no puedo demostrarlo.

Puede alguien ayudarme con esta prueba mostrándome cómo $\mathbf(1)$ = primer caso de $\mathbf (2)$ y probar la pregunta utilizando este método y también dando una prueba clara usando un método más simple

Answer 1

Un método más sencillo, utilizando sólo ese :

si $m$ es un número entero y $y$ es un real entonces $y \ge m \Longleftrightarrow \lfloor y \rfloor \ge m$ .

\begin{align*} \big\lfloor \frac{x}{n}\big\rfloor &=\max\big\{k\in \mathbb{Z}\ |\ \frac{x}{n} \ge k\big\}=\max \big\{k\in\mathbb{Z}\ |\ x \ge nk\big\}\\ &=\max \big\{k\in\mathbb{Z}\ |\ \lfloor x\rfloor \ge nk\big\}=\max\big\{k\in\mathbb{Z}\ |\ \frac{\lfloor x\rfloor}{n}\ge k\big\} = \big\lfloor\frac{\lfloor x\rfloor}{n}\big\rfloor. \end{align*}

Answer 2

El método de prueba del OP es bueno. Queda por calcular $$\left\{\frac{\lfloor x \rfloor}{n}\right\}$$ y $$\left\{\frac{\{x \}}{n}\right\}$$

Obsérvese que el primero es como máximo $\frac{n-1}{n}$ y el segundo es estrictamente menor que $\frac{1}{n}$ por lo que su suma es estrictamente menor que $1$ .

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Más detalles, según lo solicitado:

Desde $\lfloor x\rfloor$ es un número entero, escríbalo como $qn+r$ , donde $q,r$ son números enteros y $0\le r\le n-1$ . Esta es la algoritmo de división . Ahora $\frac{\lfloor x \rfloor}{n}=\frac{qn+r}{n}=q+\frac{r}{n}$ . Esto tiene una parte fraccionaria $\frac{r}{n}$ que es como máximo $\frac{n-1}{n}$ .

Ahora, $0\le \{x\}<1$ Así que $0\le \frac{\{x\}}{n}<\frac{1}{n}$ . Es su propia parte fraccionaria (ya que está entre $0$ y $1$ ), que es estrictamente inferior a $\frac{1}{n}$ .

Answer 3

Consideremos que por el principio arquimédico hay un único número entero $k,m$ para que $kn \le kn + m\le x< kn + m + 1 \le (k+1)n$ .

Así que $\frac {[x]}n = k + \frac mn$

Así que $\{\frac {[x]}n\} = \frac mn\le \frac {n-1}n$ y $\frac {\{x\}}n < \frac 1n$ así que $\{\frac {\{x\}}n\} = \frac {\{x\}}n < \frac 1n$ .

Así que $\{\frac {[x]}n\} + \{\frac {\{x\}}n\} = \frac mn + \frac {\{x\}}n < \frac {n-1}n + \frac 1n = 1$ .