Vamos a tener enteros positivos con $$ n = a^2 + b^2 = c^2 + d^2 $$ with $a,c$ odd, then $b,d$ even, also $b < d$ and $ > c.$ So these are two genuinely distinct ways of writing $n.$
$$ (a-c)(a+c) = (d-b)(d+b). $$
Definir $$ r = \gcd(a-c, d-b) $$
Tenga en cuenta que $r$ es incluso. A continuación se definen
$$ a-c = rs \; , \; \; \; d-b = r t \; , $ $ , de modo que
$$ \gcd(s,t) = 1. $$
Tenga en cuenta que al menos uno de $s,t$ es impar. Esto nos da
$$ (a+c)s = (d+b)t. $$
El mcd de propiedad nos dice que $t | (a+c).$ definimos $u$ con
$$ a+c = t u. $$ We immediately conclude $d+b = s u.$ As $a+c, d+b$ are even, but at least one of $s,t$ is odd, we find $u$ es par.
En una línea,
$$ \color{magenta}{ a-c = rs \; , \; \; a+c = tu \; , \; \; d-b = rt \; , \; \; d+b = su \; }. $$
Si ahora resolvemos para $a$ $b$ y de la plaza, y se combinan, obtenemos
$$ a = \frac{1}{2}(rs+tu) \; , \; \; \; b = \frac{1}{2}(su-rt) \; , $$
$$ a^2 + b^2 = \frac{1}{4}\left( r^2 s^2 + r^2 t^2 + u^2 s^2 + u^2 t^2\right) = \frac{1}{4}\left( r^2 + u^2 \right) \left( s^2 + t^2 \right)\; , $$
$$ \color{magenta}{ n = a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = \left( \left(\frac{r}{2}\right)^2 +\left(\frac{u}{2}\right)^2 \right) \left(s^2 + t^2 \right) } . $$
Es decir, debido a $n$ tenía dos distintas representaciones como suma de dos cuadrados, es compuesto.
El contrapositivo, es que un número $4k+1$ con solo una expresión como la suma de dos distinto de cero plazas es primo. Es probablemente vale la pena señalar que este es el contrapositivo en la configuración de tener al menos una representación. No estamos haciendo ninguna de las conclusiones acerca de los números que no tienen representación como la suma de dos cuadrados.
