La evaluación de $ \int^{\infty}_{-\infty}\sin\left({\pi}^{4}x^{2}+\frac{1}{x^2}\right) dx$

Question

$$\int^{\infty}_{-\infty}\sin\left({\pi}^{4}x^{2}+\frac{1}{x^2}\right) dx$$

Este es un problema de la Pi Mu Epsilon Diario, y estoy teniendo grandes problemas para resolver. He probado algunas sustituciones y cualquier truco que se me ocurrió para encontrar algunos de los múltiples de la integral, pero todo lo que ha llevado a un callejón sin salida. Tal vez incluso no se pueden resolver con los métodos de análisis real?

Sugerencias y otros comentarios serán muy apreciados!

Answer 1

Por la uniformidad y $\pi x\mapsto u$ es $$\frac{2}{\pi }\int_0^\infty {\sin } \left( {{\pi ^2}\left( {{u^2} + \frac{1}{{{u^2}}}} \right)} \right)du$$

Ahora, dividida en $x=1$, $$\frac{2}{\pi }\int_0^1 {\sin } \left( {{\pi ^2}\left( {{u^2} + \frac{1}{{{u^2}}}} \right)} \right)du + \frac{2}{\pi }\int_1^\infty {\sin } \left( {{\pi ^2}\left( {{u^2} + \frac{1}{{{u^2}}}} \right)} \right)du$$ By $u\mapsto u^{-1}$, we get $$\frac{2}{\pi }\int_1^\infty {\sin } \left( {{\pi ^2}\left( {{u^2} + \frac{1}{{{u^2}}}} \right)} \right)\frac{{du}}{{{u^2}}} + \frac{2}{\pi }\int_1^\infty {\sin } \left( {{\pi ^2}\left( {{u^2} + \frac{1}{{{u^2}}}} \right)} \right)du$$ or $$\frac{2}{\pi }\int_1^\infty {\sin } \left( {{\pi ^2}\left( {{u^2} + \frac{1}{{{u^2}}}} \right)} \right)\left( {1 + \frac{1}{{{u^2}}}} \right)du$$

Desde $u^2+u^{-2}=(u-u^{-1})^2+2$ $(u-u^{-1})'=1+u^{-2}$ obtenemos $$\frac{2}{\pi }\int_0^\infty {\sin } \left( {{{\left( {\pi x} \right)}^2} + 2{\pi ^2}} \right)dx$$

Ahora uso el seno de la suma de la fórmula y los valores de las integrales de Fresnel para concluir, el valor es: $$\frac{{1 }}{{\sqrt 2{\pi ^{3/2}}}}\left( {\cos 2{\pi ^2} + \sin 2{\pi ^2}} \right)$$

Ver esto para algunos generalizada fórmulas

Answer 2

No una respuesta diferente, sino la generalización de la técnica de Peter Tamaroff utilizado en su respuesta. Aviso el hecho de que $(u - u^{-1})^2 + 2 = u^2 + u^{-2}$, podemos generalizar esto para cualquier convergente la integral definida.

Dicen que si queremos calcular: $$ \int^{\infty}_{-\infty} f(x)\,dx, $$ sabiendo que esto es convergente. Usando el truco podemos ver que la integral es: $$ \int^{\infty}_{-\infty} f(x)\,dx = \int^{\infty}_{-\infty} f\left(x - \frac{a}{x}\right)\,dx \etiqueta{1} $$ Prueba: podemos hacer la sustitución: $$ u = x - \frac{a}{x}, \quad \text{for some } a>0.$$ Aviso de $u$ es de nuevo de $-\infty$ $\infty$por tanto $x>0$$x<0$. Entonces tenemos: $$ x = \frac{u + \sqrt{u^2 + 4a}}{2} > 0 \;\text{ o }\; \frac{u - \sqrt{u^2 + 4a}}{2} < 0 $$ por lo tanto $$ \frac{dx}{du} = \left\{\begin{aligned} \frac{1}{2}+ \frac{u}{2\sqrt{u^2 + 4a}} \quad \text{when }x>0 \\ \frac{1}{2} - \frac{u}{2\sqrt{u^2 + 4a}} \quad \text{when }x<0 \end{aligned}\right. $$ Por lo tanto: $$ \int^{\infty}_{-\infty} f(u)\left(\frac{1}{2}+ \frac{u}{2\sqrt{u^2 + 4a}}\right) du = \int^{\infty}_{0} f\left(x - \frac{a}{x}\right) \,dx \etiqueta{2} $$ y $$ \int^{\infty}_{-\infty} f(u)\left(\frac{1}{2} - \frac{u}{2\sqrt{u^2 + 4a}}\right) du = \int^{0}_{-\infty} f\left(x - \frac{a}{x}\right)\,dx \etiqueta{3} $$ (2)+(3) se obtiene (1).

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La integral en el OP es $$ \int^{\infty}_{-\infty}\sin\left({\pi}^{4}x^{2}+\frac{1}{x^2}\right) dx = \int^{\infty}_{-\infty}\sin\left({\pi}^4\Big(x - \frac{1}{\pi^2 x}\Big)^2 + 2\pi^2 \right) dx. $$ Ahora usando (1): $$ \int^{\infty}_{-\infty}\sin\left({\pi}^4\Big(x - \frac{1}{\pi^2 x}\Big)^2 + 2\pi^2 \right) dx = \int^{\infty}_{-\infty}\sin ({\pi}^4 x^2 + 2\pi^2) \,dx $$ Fácilmente podemos ver que esta es la misma integral como Pedro Tamaroff se metió en su respuesta: $$ \frac{2}{\pi }\int_0^\infty {\sen } \left( {{{\left( {\pi x} \right)}^2} + 2{\pi ^2}} \right)dx, $$ y entonces la integral de Fresnel de patadas en el.