Juego de Piratas: ¿Qué pasa si el proponente no puede votar?

Question

Había leído el Juego de piratas

Con otro número de piratas y monedas podemos pensar lo mismo

Pero supongo que el número máximo de monedas que el pirata A podría obtener si el plan sigue siendo aceptado cuando obtiene la mitad de los votos, pero el proponente no puede votar por su plan?

El problema será :

Hay 5 piratas, deben decidir cómo repartir 100 monedas de oro entre ellos. Los piratas tienen niveles de antigüedad, el más antiguo es el A, luego B, luego C, luego D, y finalmente el más joven es E.

Las reglas de distribución son:

• El pirata más veterano propone un reparto de monedas.
• Todos los piratas, que no propone la distribución , votarán si aceptan la distribución.
• Si la distribución es aceptada, las monedas se desembolsan y el juego termina.
• Si no, el proponente es arrojado y muere, y el siguiente pirata más veterano hace una nueva propuesta para comenzar el sistema de nuevo.
• En caso de empate en la votación se aceptará la distribución

Las reglas que siguen todos los piratas.

• Todo pirata quiere sobrevivir y no cree en nadie más
• Dada la supervivencia, cada pirata quiere maximizar el número de monedas de oro que recibe.

Answer 1

Como un ejemplo, consideremos el caso de la $5$ piratas ($A$, $B$, $C$, $D$, y $E$) y $100$ monedas:

• Si sólo $D$ $E$ son de la izquierda, entonces la distribución es $(0,100)$. Si $D$ ofrece algo distinto a todas las monedas de a$E$, $E$ de los votos en contra de la propuesta y toma todas las $100$ para el mismo. Incluso con la distribución de $(0,100)$, pirata $E$ puede votar en contra del plan de si él/ella decide (tal vez debido a conflictos de personalidad, etc).

• Si $C$, $D$, y $E$ son de la izquierda, entonces la distribución es $(99,1,0)$. $D$ votará a favor de este plan es mejor que recibir $0$.

• Si $B$, $C$, $D$, y $E$ son de la izquierda, entonces la distribución es $(97,0,2,1)$. En este caso, $B$ tiene dos votos para sobrevivir. $B$ no va a $C$'s de voto, a menos $B$ ofertas de $C$ más de $99$, que no va a suceder. Para garantizar que los otros dos votos, $B$ ofrece uno más a $D$ $E$ de lo que se obtendría sin $B$.

• Si todos los piratas están vivos, entonces la distribución es $(97,0,1,0,2)$. En este caso, $A$ tiene dos votos y no se va a $B$'s de la votación, sin ofrecer más de $97$, que no va a suceder. Por lo tanto, $A$ ofrece un poco más de oro a dos que se perdería (y obtener las cantidades más pequeñas) si $A$ fueron asesinados.

Sólo por diversión, aquí está el siguiente par de casos:

• Con $6$ piratas, $(96,0,1,2,1,0)$

• Con $7$ piratas, $(96,0,1,2,0,0,1)$ o $(96,0,1,0,0,2,1)$

• Con $8$ piratas, las cosas se ponen un poco interesante. Puesto que hay dos opciones para $7$, $(96,0,1,0,1,1,1,0)$ puede ser suficiente, porque los piratas, que consigue $2$ en el caso de $7$ podría no quiere correr el riesgo de contraer $0$.

• Con $9$ piratas, cualquiera de $(95,0,1,2,1,0,0,0,1)$, $(95,0,1,0,1,2,0,0,1)$, $(95,0,1,0,1,0,2,0,1)$, o $(95,0,1,0,1,0,0,2,1)$ debe obtener los votos suficientes.

• Con $10$ piratas, $(95,0,1,0,1,0,1,1,1,0)$ debe ser una buena distribución.

El número de monedas que realmente no importa, siempre y cuando haya suficientes monedas para distribuir bien. Si hay más piratas de la mitad de las monedas, las cosas pueden llegar a ser muy interesante. Probablemente habrá un montón de matar en esos casos para reducir el número de piratas abajo.

En estos tipos de problemas, a veces los piratas están definidos para ser "sedientos de sangre." En este caso, los piratas elegir a matar cuando sus dos votos daría el mismo resultado. Esto significaría que en el primer caso (sólo$D$$E$, $E$ siempre voto a matar a $D$).

Answer 2

Antes de dar una respuesta definitiva, hay que responder a dos preguntas:

1. Si los piratas son indiferentes a una propuesta, ¿la aceptarán o matarán al pirata jefe?

2. Si el jefe de los piratas podría pagar igualmente a varios piratas, ¿cuál se pagará? ¿Podría el oro, tal vez, distribuirse al azar?

Las distintas respuestas a estas preguntas darán resultados diferentes.

Como ejemplo de cómo analizar este juego, voy a considerar lo que considero la mejor interpretación: los piratas podrían matar, y el pirata jefe, cuando se le dé a elegir, pagará primero a los piratas de mayor rango. Llamaré al pirata de menor rango #1, al segundo de menor rango #2, y así sucesivamente.

2: No importa, el pirata #1 obtiene 100.

3: (100, 0, 0) (el pirata #2 puede morir si esta propuesta no sale adelante, por lo que la aceptará).

4: (98, 0, 1, 1)

5: (97, 0, 1, 2, 0) (al nº 1 o al nº 2 se les podría haber ofrecido 2 monedas, pero el nº 2 está mejor clasificado).

6: (96, 0, 1, 2, 0, 1)

7: (96, 0, 1, 2, 0, 1, 0)

8: (95, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 1)

9: (95, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 1, 0)

10: (94, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 1, 0, 1)

11: (94, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0)

...

196: (1, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 1, ... 0, 1)

197: (1, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 1, ... 1, 0)

198: (0, 2, 1, 0, 0, 1, 0, 1, ... 0, 1)

199: (0, 1, 0, 2, 1, 1, 0, 1, ... 1, 0)

200: (0, 1, 2, 1, 0, 0, 0, 1, ... 0, 1) (El pirata #200 sólo puede permitirse 99 votos, y es asesinado).

201: (0, 0, 2, 0, 0, 1, 1, 1, 0, ... 1, 0) (El pirata #201 sólo puede permitirse 99 votos, pero sobrevive porque #200 acepta la propuesta para seguir vivo).

202: (0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, ... 1, 0, 1) (El pirata #202 sólo puede permitirse 100 votos, y es asesinado).

203: (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, ... 0, 1, 0) (El pirata #203 obtiene el voto de #202 gratis, y sobrevive a 101-101).

204: (0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, ... 1, 0, 0) (El pirata #204 no obtiene votos gratis y es asesinado).

205: (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, ... 1, 0, 0, 0) (El pirata #205 obtiene el voto de #204 gratis, pero sigue perdiendo 101-102).

206: (0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, ... 1, 0, 0, 0, 0) (El pirata #206 consigue el #204 y el #205, pero pierde el 102-103).

207: (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, ... 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) (El pirata #207 consigue el #204-206, y sobrevive al 103-103.)

Los piratas #208-214 mueren, pero el #215 sobrevive 107-107.

Los piratas #216-230 mueren, pero el #231 sobrevive 115-115.

Los piratas #232-262 mueren, pero el #263 sobrevive 131-131.

Hay un patrón.

Cada pirata está separado del anterior por una potencia de dos. En general, el pirata $199+2^{n}$ sobrevive.

También hay patrones en la distribución de las monedas, de tal manera que es posible encontrar, para cualquier pirata, lo que obtendría con x número de piratas.

En general, para x número de piratas y G de monedas, los piratas se quedarán sin monedas a $x=2G-2$ y a partir de la 2G, sólo los piratas iguales a $2G-1+2^{n}$ sobrevivirá, donde n es un número natural {1, 2, 3, ...}