¿Demostrando eso si $p_1 + \cdots p_n = 1$ y $\displaystyle \sum_{k=1}^n \left(p_k + \dfrac {1}{p_k} \right)^2 \ge n^3+2n+\dfrac 1n$?

Question

Este problema es del libro "de Cauchy-Schwarz Masterclass":

Mostrar que si $p_1 + \cdots p_n = 1$ con cada una de las $p_i$ positivo, $\displaystyle \sum_{k=1}^n \left(p_k + \dfrac {1}{p_k} \right)^2 \ge n^3+2n+\dfrac 1n$

He ampliado la LHS, y llegó a

$$(p_1^2 + \cdots + p_n^2) + \left(\dfrac {1}{p_1^2} + \cdots + \dfrac {1}{p_n^2}\right) \ge n^3 + \dfrac 1n$$

Yo era capaz de mostrar que $p_1^2 + \cdots + p_n^2 \ge \dfrac 1n$ mediante la aplicación de C-S para las secuencias de $(p_1, ..., p_n)$$(p_1, ..., p_n)$. Yo también creo que el $\dfrac {1}{p_1^2} + \cdots + \dfrac {1}{p_n^2} \ge n^3$ es cierto (porque la igualdad tiene por $p_i = \dfrac 1n$ y he comprobado numéricamente para algunos valores), pero no soy capaz de demostrarlo.

En este punto en el libro que sólo proed que los clásicos $C-S$ la desigualdad y la $C-S$ de producto interior espacio, así que estoy esperando que existe una solución única con estas herramientas.

Answer 1

Esta es una prueba de que sólo utiliza Cauchy Schwarz, la segunda parte puede ser simplificada si está permitido el uso de AM $\ge$ HM.

Aplicar CS a $n$ copias de $1$$\displaystyle\;p_k+\frac{1}{p_k}$, obtenemos

$$n \sum_{k=1}^n \left(p_k + \frac{1}{p_k}\right)^2 = \left( \sum_{k=1}^n 1^2\right)\sum_{k=1}^n\left(p_k + \frac{1}{p_k}\right)^2 \ge \left(\sum_{k=1}^n p_k + \frac{1}{p_k}\right)^2 = \left(1 + \sum_{k=1}^n \frac{1}{p_k}\right)^2$$ Aplicar CS de nuevo a$\sqrt{p_k}$$\displaystyle\;\frac{1}{\sqrt{p_k}}$, obtenemos

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{p_k} = \sum_{k=1}^n \sqrt{p_k}^2 \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{p_k}^2} \ge \left(\sum_{k=1}^n \frac{\sqrt{p_k}}{\sqrt{p_k}}\right)^2 = n^2$$

Combinar estas dos desigualdades, obtenemos

$$\sum_{k=1}^n \left(p_k + \frac{1}{p_k}\right)^2 \ge \frac1n \left(1 + n^2\right)^2 = n^3 + 2n + \frac1n$$

Answer 2

Asumir todos los $p_i$ son positivas, de lo contrario el LHS es infinita y la desigualdad es trivial. Considere la función $f\colon(0,1)\to\mathbb{R}$ definido por $$ f(x) = \left(x+\frac{1}{x}\right)^2,\qquad x\in(0,1) \etiqueta{1} $$ que se ve fácilmente a ser cóncava. (Por ejemplo, $f''(x) = 2+6/x^4 > 0$.)

Por la desigualdad de Jensen, $$ \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} f(p_i) \geq f\left(\sum_{i=1}^n \frac{p_i}{n}\right) = f\left(\frac{1}{n}\right) \etiqueta{2} $$ es decir, $$ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(p_i+\frac{1}{p_i}\right)^2 \geq \frac{1}{n^2}+2 + n^2\,. \etiqueta{3} $$ Multiplicar ambos lados por $n$ para obtener el deseado desigualdad.

Answer 3

De hecho intentamos minimizar $$\dfrac{1}{p_1^2}+\dfrac{1}{p_2^2}+\cdots+\dfrac{1}{p_n^2}$$respect to $$p_1+p_2+\cdots+p_n=1$$using Lagrange multipliers we get$$-\dfrac{2}{p_1^3}=\lambda\-\dfrac{2}{p_2^3}=\lambda\.\.\.\-\dfrac{2}{p_n^3}=\lambda$$which yields to $% $ $p_1=p_2=\cdots=p_n=\dfrac{1}{n}$y conduce al mismo resultado por sustitución

Answer 4

Lee el Lagrangiano

$ L(p,\lambda) = \sum_ {k = 1} ^ n\left (p_k + \frac {1} {pk} \right) ^ 2 + \lambda\left (\sum {k = 1} ^ p_k n - 1\right) $$

Condiciones estacionarias son

$$ 2p_k \frac {2} {pk ^ 3} + \lambda = 0, \; \; \forall k\ \sum{k=1}^n p_k = 1 $$

Así concluimos $p_1=p_2=\cdots= p_n = \frac 1n$ por lo tanto

$$ \sum_{k=1}^n\left(p_k+\frac{1}{p_k}\right) ^ 2 = n\left (n + \frac 1n\right) ^ 2 = n ^ 3 +2n + \frac 1n $$