Campo isomorfo a una extensión trascendental de sí mismo

Question

Permita que$k$ sea cualquier campo y$K:=k(X_1,X_2,\dots)$ sea el campo de funciones racionales sobre$k$ en muchas variables contables. Ahora$K$ tiene la propiedad interesante de que es isomorfo a una extensión trascendental de sí mismo, a saber,$K\cong K(X)$.

¿Hay algún otro ejemplo de este fenómeno o es cierto lo siguiente?

Cuando$K$ es un campo que es isomorfo a una extensión trascendental de sí mismo, entonces hay algún campo$k$% st$K\cong k(X_1,X_2,\dots)$.

Answer 1

Como está escrito, no.

$\mathbb C$ es isomorfo a $\overline{\mathbb C(X)}$ que es una extensión trascendente, pero $\mathbb C$ no es isomorfo a nada de la forma $k(X_1,X_2,\ldots)$ porque este último no es algebraicamente cerrado ($X_1$ no tiene una raíz cuadrada, por ejemplo).