¿El límite de la secuencia recursiva$a_{n+1}=\frac{n+1}{\frac{1}{a_{n}}-(n+1)}$ converge al mismo valor independientemente de lo que sea$a_0$?

Question

Encontré una secuencia recursiva interesante$a_{n+1}=\frac{n+1}{\frac{1}{a_{n}}-(n+1)}$. Al jugar con$a_0$ en Desmos , parece que no importa qué$a_0$ sea, la secuencia converge a algún valor fijo. ¿Es este el caso? ¿Es esta secuencia la misma independientemente de su valor inicial? Si es así, ¿cuál es el límite de esta secuencia?

Answer 1

La secuencia$$b_n=\frac{n!}{a_n}$$ solves the recursion $$b_{n+1}=b_n-(n+1)!$$ hence $$b_n=b_0-\sum_{k=1}^nk!$$ which yields $$\frac1{a_n}=\frac1{n!a_0}-\sum_{k=1}^n\frac{k!}{n!}$$ Now, for every $ n \ geqslant2 $,$$1\leqslant\sum_{k=1}^n\frac{k!}{n!}\leqslant1+\frac1n+\frac{n-2}{n(n-1)}$ $ Por lo tanto, para cada condición inicial$a_0$ no en el conjunto de las sumas$\sum\limits_{k=1}^nk!$ para$n\geqslant0$, uno tiene$$\lim a_n=-1$ $