DESCARGO DE RESPONSABILIDAD: Toma esta respuesta con un grano de sal. Este tema es nuevo para mí y básicamente sólo me baso en las cosas que he aprendido aquí en el sitio al responder a algunas otras preguntas del mismo libro.
5.3 Teorema. (Witt) Deja que $(V,b)$ sea un espacio bilineal simétrico regular. Sea $W$ sea un subespacio de $V$ y $\sigma \colon W\to V$ una isometría. Entonces existe una isometría $\Sigma\colon V\to V$ que amplía $\sigma$ Es decir $\Sigma|_W=\sigma$ .
5.5 Teorema. Bajo las hipótesis de 5.3 existe un producto de reflexiones $\Sigma$ que amplía $\sigma$ .
Usted ha preguntado sobre una parte de esta prueba (y también ha mencionado en el chat que básicamente buscas un desglose más detallado de esta prueba):
No entiendo lo que sugiere el libro en el segundo párrafo cuando $W$ no es totalmente isotrópico demuestran el resultado anterior por inducción. ¿Puede alguien explicar el caso para el que $W$ no es totalmente isotrópico.
La parte de la prueba que usted pidió arriba:
Ahora procedemos por inducción en $m=m(W):=\dim W+2\dim(W\cap W^\bot)$ . (De esta manera podemos evitar algunos pasos técnicos en las pruebas clásicas).
Como no conozco el pruebas clásicas, No puedo comentar mucho sobre esto. Probablemente alguien que esté más familiarizado con la teoría de las formas cuadráticas pueda decir más, pero parece que el objetivo de la pregunta es principalmente entender esta prueba.
Para $m=0$ tenemos $W=0$ y puede tomar $\Sigma=id$ .
Supongo que el caso $W=0$ puede considerarse trivial.
Suponemos que ahora $m>0$ y considerar primero el caso de que $W$ no es totalmente isotrópico. Por 5.6 existe un vector anisotrópico $x\in W$ .
Esto es sólo una aplicación del Lemma 5.6, no hay mucho que decir aquí.
Dejemos que $W_1=x^\bot\cap W$ para que $W=xK\oplus W_1$ .
Por el lema 3.4 sabemos que $V=xK \oplus x^\bot$ . Tomando la intersección con $W$ obtenemos $W=xK \oplus (x^\bot\cap W)$ . De hecho, sabemos más que eso: sabemos que $V= xK \perp x^\bot$ y $W= xK\perp W_1$ .
Desde $m(W_1)=m(W)-1$ podemos aplicar la hipótesis de inducción a $\sigma_1=\sigma|_W$ .
Tenemos $\dim(W)=1+\dim(W_1)$ Por lo tanto $\dim(W_1)=\dim(W)-1$ .
Al mismo tiempo, tenemos $W_1\cap W_1^\bot=W\cap W^\bot$ . En efecto, \begin{align*} W\cap W^\bot &= (xK \oplus W_1) \cap (xK \oplus W_1)^\bot \\ &= (xK \oplus W_1) \cap x^\bot \cap W_1^\bot \\ &= (xK \cap x^\bot \cap W_1^\bot)\oplus (W_1 \cap x^\bot \cap W_1^\bot) \\ &= W_1 \cap x^\bot \cap W_1^\bot \\ &= W_1 \cap W_1^\bot \end{align*}
Hay un producto de reflexiones $\Sigma_1$ ampliando $\sigma_1$ .
Esto no es más que la aplicación de la hipótesis de la inducción. (Obsérvese que una restricción de una isometría es de nuevo una isometría. Así que se puede aplicar la hipótesis de inducción).
Los vectores $x$ y $y:=(\Sigma_1^{-1}\sigma)x$ mienten en $W_1^\bot$ .
El hecho de que $x\in W_1^\bot$ se deduce simplemente de $W_1\subseteq x^\bot$ .
Desde $\Sigma_1$ extiende $\sigma_1$ cualquier elemento del espacio $W_1$ es invariable bajo $\Sigma_1^{-1}\sigma$ . Es decir, $\Sigma_1^{-1}\sigma(w)=\Sigma_1^{-1}\sigma_1(w)=w$ para cualquier $w\in W_1$ .
Ahora usando el hecho de que $\Sigma_1^{-1}\sigma$ es una isometría y cualquier isometría mapea un elemento ortogonal a un elemento ortogonal, obtenemos de $x\in W_1^\bot$ que $y\in W_1^\bot$ .
Por el primer paso de la prueba existe un producto de (a lo sumo 2) reflexiones de la forma $\tau_z$ , $z\in W_1^\bot$ que mapea $x$ a $y$ .
Se trata de la aplicación del hecho probado en el primer párrafo de la prueba (el caso $W=xK$ , $x$ anisotrópico).
Estos reflejos actúan como una identidad en $W_1$ .
La primera parte del lema 5.2 dice que $\tau_z$ actúa como identidad en $z^\bot$ .
Entonces $\Sigma:=\Sigma_1\Sigma_2$ es el mapa que queremos encontrar: $$\Sigma_1\Sigma_2(x\alpha+x_1) =\Sigma_1(y\alpha+W_1) =\sigma(y\alpha)+\sigma x_1 =\sigma(x\alpha+x_1).$$
Se trata de un cálculo directo mediante $\Sigma_2x=y$ y $\Sigma_1|_{W_1}=\Sigma_2|_{W_1}=id_{W_1}$ .
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@FedericoFallucca por favor, echa un vistazo a la pregunta y el enlace para el libro se da en la pregunta? Por favor, miralo si es posible para ti y si es posible entonces por favor explicame para el caso de subespacio totalmente isotrópico y cómo podemos utilizar la inducción en esa prueba?