Mostrando $2\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) F(x) \ dx = \frac{1}{\sqrt{\pi}}$ para pdf normal estándar y cfd

Question

estoy tratando de probar la identidad en el título. Yo firmemente creo que necesito usar la función de error $$\text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x \exp\{-t^2\}\ dt$$ in some way. Best I have so far is replacing $F(x) = \frac{1+\text{fer}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}{2}$, para finalizar con $$2\int_{-\infty}^{\infty} x \, f(x) \, F(x) \ dx = \int_{-\infty}^{\infty} \text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) \, x\, \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{-\frac{1}{2}x^2\right\}\ dx.$$ Mis intentos de integración parcial han fallado, cualquier otra idea o alguien que tenga éxito?

Tengo un documento que indique que la igualdad tiene sin más comentarios o cálculos y me han confirmado que a través de la integración de la cuadratura y estoy buscando una analítica de la prueba.

Muy agradecido por cualquier ayuda.

Answer 1

Tenemos $$ \int x f(x) \, dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int x e^{-x^2/2} \, dx = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}+C = -f(x)+C, $ $ para integrar por partes da $$ 2\int{-\infty}^{\infty} xf(x)F(x) \, dx = [-2f(x)F(x)]{-\infty}^{\infty} + \int{-\infty}^{\infty} 2f(x)^2 \, dx $ $ desde $F'=f$. $f(x)^2 = e^{-x^2}$, Que es sólo un escalamiento del estándar normal, poniendo $x=y/\sqrt{2}$, que $dx=dy/\sqrt{2}$ y por lo tanto $$ 2\int{-\infty}^{\infty} xf(x)F(x) \, dx = \frac{2}{\sqrt{2}\sqrt{2\pi}} = \frac{1}{\sqrt{\pi}}. $ $

Answer 2

Consejo: Su integral es %#% $ #%

Trate de integración por las piezas con $$\frac{2}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty x e^{-x^2 / 2} F(x) \,dx\,.$ y $u = F(x)$.