Prueba de singularidad de CCR Algebras

Question

Actualmente estoy tratando de aprender acerca de CCR álgebras (canónica relaciones de conmutación) y estoy experimentando un poco de confusión con la prueba de que el CCR álgebra de una (no degenerada, real) simpléctica espacio vectorial es único.

He estado leyendo desde el capítulo 6 de la siguiente, en la que el resultado es el Teorema 3:

https://www.math.uni-potsdam.de/fileadmin/user_upload/Prof-Geometrie/Dokumente/Publikationen/qft-alg.pdf

Resumiré la prueba, e insertar los números a donde tengo dudas. Cualquier terminología debe ser definido en el documento enlazado más arriba.

Prueba: Dadas dos CCR-representaciones ($A_1$, $W_1$) y ($A_2$, $W_2$) de la simpléctica espacio vectorial ($V$, $\omega$), debemos mostrar que el $^*$-isomorfismo $\pi:\langle W_1(V)\rangle\rightarrow\langle W_2(V)\rangle$ entre el $^*$-álgebras $\langle W_1(V)\rangle$ $\langle W_2(V)\rangle$ se extiende a una isometría entre el $A_1$ y $A_2$$^{(1)}$.

A continuación, la norma $\|x\|=\|\pi(x)\|_2$ es introducido en $A_1$, y señaló que $\|\pi(x)\|_2\leq \|x\|_\text{max}$ donde $\|\cdot\|_\text{max}$ se define en el Lema 9 por

$$\|x\|_\text{max}=\sup\{\|x\|\text{; }\|\cdot\|\text{ is a C}^*\text{ norm on } \langle W_1(V)\rangle\}.$$

A continuación, se llegó a la conclusión de que $\varphi$ se extiende a una $^*$-homomorphism $\overline{\langle W_1(V)\rangle}^\text{max}\rightarrow A_2$$^{(2)}$. Lema 10 se aplica a la conclusión de que esta extensión es inyectiva, y luego se sigue que la extensión isométrica$^{(3)}$.

Esta es mucho más bonita que la prueba termina, salvo una nota sobre el caso al $A_1=A_2$. Voy a enumerar ahora mis preguntas.

(1) la Comprobación de esto será suficiente, porque entonces podríamos hacer lo mismo para el inverso $\varphi^{-1}$ para obtener el mapa deseada entre el$A_1$$A_2$?

(2) Los obligados $\|\pi(x)\|_2\leq \|x\|_\text{max}$ muestra que $\pi$ es continua, por lo $\pi$ se extiende a $\overline{\langle W_1(V)\rangle}^\text{max}$ por la continuidad y la densidad de $\langle W_1(V)\rangle$?

(3) yo realmente no entiendo por qué esto es suficiente. A mí me parece que la meta en este punto se requiere la terminación$\overline{\langle W_1(V)\rangle}^\text{max}$, coincidiendo con $A_1$, pero realmente no he llegado a ninguna parte con la que muestra esto por mi cuenta.

Cualquier ayuda/sugerencias/palmadas alrededor de la cara, porque es obvio que será muy apreciada.

Answer 1

He tenido una buena vieja pensar acerca de esto, y puede tener lleno en algunos de los espacios en blanco.

Para empezar tengo algunas adicional de confusión en el autor de la definición de CCR-álgebras, dicen que si $(A,W)$ es un Weyl sistema de $(V,\omega)$ $A$ es un CCR-álgebra si $A$ es generado como un C$^*$-álgebra por el conjunto de $\{W(u)\text{; }u\in V\}$. Todos los textos que he encontrado sólo definen C$^*$-subalgebras generados por los subconjuntos así que supongo que lo que se quiere decir en este caso es que el $A$ coincide con el C$^*$-subalgebra de sí mismo generado por $\{W(u)\text{; }u\in V\}$. Si esto es lo que significa, entonces es posible demostrar que el uso de las propiedades de un sistema de Weyl que $A$ es la norma de cierre de la lineal de la amplitud del conjunto de $\{W(u)\text{; }u\in V\}$.

Considere la posibilidad de la $^*$-isomorfismo $\pi:\langle W_1(V) \rangle\rightarrow\langle W_2(V) \rangle$. El conjunto $\langle W_2(V) \rangle$ es denso en $A_2$, y la imagen de la composición

$$\langle W_1(V) \rangle \overset{\pi}{\rightarrow}\langle W_2(V) \rangle \overset{i}{\hookrightarrow} A_2,$$

(donde $i$ denota la inclusión), es $\langle W_2(V) \rangle$. (Tal vez vale la pena señalar que esta composición es una $*$-homomorphism).

La definición de $\|x\|:=\|\pi(x)\|_2$ da una C$^*$-norma en $\langle W_1(V) \rangle$, por lo que no es el vinculado $\|\pi(x)\|_2=\|x\|\leq \|x\|_\text{max}$, lo que muestra que la composición es continua y que podemos extender a un mapa de $\varphi:\overline{\langle W_1(V) \rangle}^\text{max}\rightarrow A_2$. Ahora invocamos Lema de 10 a deducir que $\varphi$ es inyectiva y por lo tanto isométrica.

Desde $\varphi$ extends $i\circ \pi$, la imagen de $\varphi$ debe contener $\langle W_2(V) \rangle$, pero desde $\varphi$ es una isometría en un espacio métrico, su imagen debe ser cerrado, por lo tanto, $\varphi$ es surjective, por lo que es un isomorfismo. (Es de suponer que la extensión de $\varphi$ $^*$- homomorphism demasiado).

Todavía estoy un poco atascado en la última parte.

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Creo que me voy a tomar un descanso de pensar acerca de esto, y volver en un día o dos.