Esta respuesta intentar derivar la fórmula del primer principio.
Para una alternativa de derivación de la fórmula utilizando la relación entre la media de la anchura y la integral sobre la media de curvatura, consulte la segunda parte de mi respuesta
a una pregunta relacionada.
Por favor, tenga en cuenta que la fórmula puede fallar por no poliedro convexo
(por ejemplo,$[0,1]^3 \setminus [\epsilon,1-\epsilon]^2\times [\epsilon,1]$)
Vamos a suponer que el poliedro es un convexo.
Deje $\pi_1, \pi_2$ ser las proyecciones: $
\;\;\mathbb{R}^3 \ni (x,y,z)
\;\; \desbordado{\pi_2}{\longmapsto}\;\;
\desbordado{\in \mathbb{R}^2}{(x,y)}
\;\; \desbordado{\pi_1}{\longmapsto}\;\;
x \in \mathbb{R}
$
Deje $\mu O$ ser la longitud/área/volumen $1/2/3$-dim objeto geométrico $O$$\mathbb{R}^3$.
Deje $R_3$ ser una rotación aleatoria uniforme de muestras de más de $SO(3)$.
Para cualquier poliedro convexo $P$, vamos a $\;\nu P = \verb/E/_{R_3}[\mu \pi_1\pi_2 R_3 P]\;$ ser su promedio de pinza de diámetro.
Deje $E(P)$ ser los bordes de $P$$E'(P) = \{ e \in E(P) : \pi_2 e \subset \partial \pi_2 P \}$. Cuando ninguno de los rostros de $P$ es tangente a la $z$-dirección, bordes en $E'(P)$ se correlacionan con los bordes de las $\pi_2 P$. Por otra parte, la correspondencia será bijective. En la ilustración de abajo, $P$ es un dodecaedro e $\pi_2 P$ es el gris polígono en $xy$-plano. $E'(P)$ son los bordes rojos en $P$ y en $\pi_2$, que se correlacionan con el azul de los bordes de $\pi_2 P$.
$\hspace1in$ ![Projection of Dodecahedron to xy-plane and x-axis]()
Si un proyecto de estos bordes hacia abajo a $x$-eje usando $\pi_1$ y suma más de su longitud, uno se dará cuenta de la suma overs los bordes en $E'(P)$ cuyas $\pi_2 e$ es hacia arriba o exactamente a la derecha es igual a la mordaza diámetro de $P$ a lo largo de $x$-dirección.
Lo mismo sucede con la suma de los bordes cuyas $\pi_2 e$ es hacia abajo o a la izquierda. Esto lleva a
$$\mu \pi_1\pi_2 P =
\frac12 \sum_{e \E'(P)} \mu \pi_1 \pi_2 e
= \frac12 \sum_{e \E(P)} \verb/1/_{E'(P)}(e) \mu \pi_1 \pi_2 e
$$
donde $\displaystyle\;\verb/1/_{E'(P)}(s) = \begin{cases} 1,& e \in E'(P)\\
0, & \text{ otherwise }\end{casos}\;$
es la función de indicador de $e \in E'(P)$.
Reemplace$P$$R_3 P$, y teniendo expectativa de valor. Observe que la probabilidad de $R_3P$ tener cualquier cara de la tangente a $z$-la dirección es igual a cero, se obtienen los
$$\nu P = \frac12 \sum_{e\E(P)} \verb/E/_{R_3}[
\verb/1/_{E'(R_3P)}(R_3e) \mu \pi_1\pi_2 R_3 e
]
$$
Para cualquier borde de la $e$, vamos a $L_e = \mu e$ de su longitud. Deje $t_e$ ser un vector unitario que apunta de un punto final de la $e$ a otro. Vamos $n_{e,1}$, $n_{e,2}$ ser el apuntando hacia afuera de la unidad de vectores normales por las dos caras que se adjunta al borde de la $e$. Deje $\psi_e = \pi - \delta_e$ ser el ángulo entre el$n_{e,1}$$n_{e,2}$.
Si uno elige un vector unitario $t$ y ver los $R \in SO(3)$ que hacer
$t_{Re} = t$. Uno se dará cuenta de $n_{Re,1}$ $n_{Re,2}$
se encuentra en un círculo que vive en un plano normal a $t$.
Mientras $t$ no es paralelo a la $z$-dirección, $Re \in E'(RP)$ cuando el arco entre $n_{Re,1}$ $n_{Re,2}$ $xy$- plano. Esto lleva a
$$\verb/E/_{R_3}[ \verb/1/_{E'(R_3P)}(R_3e) | t_{R_3e} = t ] = \verb/Pr/_{R_3} [ R_3 e \in E'(R_3P) | t_{R_3 e} = t ] = \frac{\psi_e}{\pi} = 1 - \frac{\delta_e}{\pi} \quad $$
Aparte de los eventos de probabilidad cero, esta esperanza condicional es independiente de $t$, uno encontrar
$$\verb/E/_{R_3}[
\verb/1/_{R_3P}(R_3e) \mu \pi_1\pi_2 R_3 e]
= \left(1 - \frac{\delta_e}{\pi}\right) \verb/E/_{R_3}[ \mu \pi_1\pi_2 R_3 e ]
= \left(1 - \frac{\delta_e}{\pi}\right) \frac{L_e}{2}
$$
Como resultado,
$$\nu P = \sum_{e \in E(P)} \frac{\pi - \delta_e}{4\pi} L_e$$
