$ \frac {3 x y z}{(x+y) (y+z) (z+x)} + \sum\limits_{cycl}^{} \left(\frac {x+y}{x+y+ 2 z}\right)^2 \ge \frac {9}{8}.$

Question

<blockquote> <p>$x,y,z>0,$ tengo que probar que $$ \frac {3 x y z}{(x+y) (y+z) (z+x)} + \sum\limits_{cycl}^{} \left(\frac {x+y}{x+y+ 2 z}\right)^2 \ge \frac {9}{8}.$ $</p> </blockquote> <p>Intenté utilizar %#% $ #%</p> <p>pero parece difícil de seguir y $$ \sqrt {\frac {1}{3} \sum\limits_{cycl}^{} (\frac {x+y}{x+y+ 2 z})^2} \ge \frac {1}{3} \sum\limits_{cycl}^{} \frac {x+y}{x+y+ 2 z} \ge \sqrt[3] {(\frac {x+y}{x+y+ 2 z}) (\frac {y+z}{2 x +y +z}) (\frac {z + x}{z+2 y+z})},$ parece no ser útil. ¿Alguna ayuda? Gracias.</p>

Answer 1

Vamos $\frac{2x}{y+z}=a$, $\frac{2y}{x+z}=b$ y $\frac{2z}{x+y}=c$.

Por lo tanto, $ab+ac+bc+abc=4$ y tenemos que demostrar que $$\sum_{cyc}\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{3}{8}abc\geq\frac{9}{8}.$$ Ahora, vamos a $a+b+c=3u$, $ab+ac+bc=3v^2,$ donde$v>0$$abc=w^3$.

Por lo tanto, la condición no depende de la $u$.

En otro lado, por AM-GM $$4=ab+ac+bc+w^3=3v^2+w^3\leq3v^2+v^3,$$ que da $v\geq1$ y desde $u\geq v$, obtenemos $u\geq1$.

También, $$4=3v^2+w^3\geq3w^2+w^3,$$ which gives $w\leq1$.

Ahora, tenemos que demostrar que $$\frac{\sum\limits_{cyc}(ab+a+b+1)^2}{(abc+ab+ac+bc+a+b+c+1)^2}+\frac{3}{8}w^3\geq0$$ o $$\frac{\sum\limits_{cyc}(a^2b^2+2a^2+1+2a^2b+2a^2c+4ab+4a)}{(w^3+3v^2+3u+1)^2}+\frac{3}{8}w^3\geq\frac{9}{8}$$ o $$\frac{9v^4-6uw^3+18u^2-12v^2+3+18uv^2-6w^3+12v^2+12u}{(w^3+3v^2+3u+1)^2}+\frac{3}{8}w^3\geq\frac{9}{8}$$ or $f(u)\geq0,$ donde $$f(u)=\frac{3v^4-2uw^3+6u^2+1+6uv^2-2w^3+4u}{(w^3+3v^2+3u+1)^2}+\frac{1}{8}w^3-\frac{3}{8}.$$ Pero $$f'(u)=\tfrac{-2w^3+12u+6v^2+4}{(w^3+3v^2+3u+1)^2}-\tfrac{2\cdot3(3v^4-2uw^3+6u^2+1+6uv^2-2w^3+4u)}{(w^3+3v^2+3u+1)^3}=$$ $$=\frac{2(9uw^3+9uv^2+9v^2+7w^3-w^6-1)}{(w^3+3v^2+3u+1)^3}>0,$$ el que dice que $f$ aumenta y puesto que la condición no depende de la $u$, es suficiente para demostrar la desigualdad por un valor mínimo de $u$, lo que sucede por una igualdad caso de dos variables.

Deje $b=a$.

Por lo tanto, la condición de da $$a^2+2ac+a^2c=4$$ o $$ac(2+a)=4-a^2$$ o $$c=\frac{2-a}{a},$$ where $0<una<2$ y tenemos que demostrar que $$\frac{2}{(a+1)^2}+\frac{1}{\left(\frac{2-a}{a}+1\right)^2}+\frac{3}{8}a^2\cdot\frac{2-a}{a}\geq\frac{9}{8}$$ o $$(a-1)^2(7+2a-a^2)\geq0,$ $ , que es obvio.

Hecho!